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解：lim?2c??x?c???lim1????x??x?cx?????x?c?x2x?ccx?2cx?c?ec?3?c?ln3；

?n（2）lim1?x?1 ??1；

x?0?★★5．利用极限存在准则定理证明：

（1）lim11?1n?2?2???2n??n?n??n??n?2?知识点：夹逼准则

思路：关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限易求 解：（1）n?1111????1??1????n????n??? ????222222?n?n?n?n?n??n?n?nn??????n21?n21?1?n????1lim?lim?1， ，而??22n??n2?n?n???n2?n?n??n?n???1?n11?1??2???2由夹逼准则，知limn?2??1

n??n??n?2?n?n???n（2）

1?x??1?x?1n，在求x?0时的极限时，不妨设?1?x?0x?1，

x?0Ⅰ：当0?x?1，有1?n1?x?1?x，且lim?1?x?1，由夹逼准则，知lim?n1?x?1；

x?0，有1?x?n1?x?1，且lim?1?x?1，由夹逼准则，知lim?n1?x?1；

x?0x?0Ⅱ：当?1?综上，limnx?01?x?1；

2，2?2，2?2?2??的极限存在，并求出该极

★★6．利用极限存在准则证明数列

限。

知识点：单调有界数列必有极限。 思路：先证单调有界，再求极限。 解：数列通项满足xn?列单调增加，且xn将xn2?xn?1，x1?2?2，x1?x2?2?2?2，不妨设

xk?1?xk?2，则2?xk?1?2?xk?2?2?2，即xk?xk?1?2；由归纳法知，此数

?2；由单调有界数列必有极限知，此数列极限存在，设为A；

左右两边取极限：limn???2?xn?1xn?lim2?xn?1?2?limxn?1?A?2?A，

n??n??解得，

A?2或A??1，显然xn?0，由极限的保号性，知极限A?0，故limxn?2；

n??★★7．设

?xn?满足：?1?x0?0，xn?1?xn2?2xn?n?0,1,2,??，证明?xn?收敛，求lim xn。

n??知识点：同上； 思路：同上；

解：x1?x0?2x0，当?1?x0?0时，∵x1?x0?2x0?(x0?1)2?1，∴?1?x1?0，

22xk?1?0，则xk?xk?1?2xk?1?(xk?1?1)2?1，得：?1?xk?0； 由数学归纳法知，此数列有界且?1?xn?0；

设?1?此时，0设lim2?xn?1?1，则有xn?1?xn?xn?2xn?xn?xn?xn?1??0，即xn?1?xn，

22知数列单调减小，且有下界，故必有极限。

n??xn?A，则有limxn?1?lim(xn?2xn)，解得A?A2?2A?A?0或A??1；

n??n??优质参考文档

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因数列单调减，且?1???xn?xn?1??x0?0，故limxn??1；

n??习题1-8

★1．当

x?0时，x?x2与x2?x3相比，哪一个是高阶无穷小？

知识点：无穷小的比较

思路：关键是求两个无穷小商的极限，然后根据无穷小比较的定义作出判断

x2?x3?limx?0；故x2?x3是x?x2的高阶无穷小； 解：lim2x?0x?xx?01??21?cosx?ln?1?x?是否为同阶无穷小？ ★★2．当x?0时，?sinx?xcos?与?x??知识点：无穷小的比较

思路：可先利用等价无穷小代换化简，然后再作判断。

解：当x?0时，(1?cosx)?2 , ln(1?x)~x∴?1?cosx?ln?1?x?～2?x

1?1???sinx2?xcos?， ?sinx?xcos??x?x?x???xsinx1由于lim?1 , limxcos?0（有界量乘无穷小量为无穷小）

x?0x?0xx1?1??sinx?sinx?xcos??1?x??xcos?~x， ∴lim?x?0x?x??x?x显然2x与x同阶但不等价，由等价关系及同阶关系的传递性可得：

1?2?1?cosx?ln?1?x?与??sinx?xcos?同阶，但不等价；

x??★★3．当

x?0时，a?x3?a?a?0?与x相比是几阶无穷小？

知识点：无穷小比较

思路：对a?x3?a作适当的变形，使之可以套用常用的等价无穷小。

3??x??1?， 解：a?x?a?a1???a????x3??x3x3ax3x3?????1～1??1~?0，故1?当x?0时，，∴a????aa2aa??2a??3

a?x3?a是x的三阶无穷小；

n★4．当x?0时，若1?cosx与mx等价，求m和n的值。

显然

知识点：无穷小比较；

思路：注意利用书中所给的等价无穷小公式，及等价关系的传递性； 解：当x?0时，1?cosx～

112x～mxn，显然m?,n?2；

22★5．利用等价无穷小性质求下列极限：

?sinx3?tanxarctan3xln?1?3xsinx?lim（1）lim；（2）lim；（3）； 2x?01?cosx2x?0x?05xtanx1?xsinx?15x?sin2x?2x3e5x?1（4）lim；（5）lim（6）lim

x?0x?0x?0xarctanxxtanx?4x2优质参考文档

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知识点：等价无穷小代换求极限；

思路：要活用等价无穷小公式，如当x?0，有x?0，故sinx～x，以及有关定理。

333?sinx3?tanxx3?xarctan3x3x3?lim?2； 解：（1）lim（2）lim?lim?；

x?01?cosx2x?01x?0x?05x25x5?x2?2（3）当x?0时，3xsinx?0，故ln?1?3xsinx?～3xsinx，

ln?1?3xsinx?3xsinxlim?lim?3； x?0x?0tanx2x21xsinx1?xsinx?11（4）lim?lim2?；

x?0x?0xarctanxx?x2sinx2sinx225??2x5?lim?lim2x2235x?sinx?2xx?0x?0xx（5）方法一：lim?lim??5 x?0x?0tanxtanxtanx?4x2?4xlim?lim4xx?0x?0xxox25?x??2x2232235x?sinx?2x5x?x?ox?2xx?lim?lim方法二：lim 22x?0x?0x?0o?x?tanx?4xx?o?x??4x1??4xxox2lim5?limx?lim?lim2x2x?0x?0x?0x?0x??5

??oxlim1?lim?lim4xx?0x?0xx?0222（其中，o?x?表示x的高阶无穷小，o?x?则表示x的高阶无穷小，自然由o?x?，o?x?的定义有

??????ox2o?x?lim?0，lim又由定理：?与?是等价无穷小的充分必要条件是：????o(?) ?0；x?0x?0xx222所以sinx?x?o(x)，tanx?x?o(x)） e5x?15x?lim?5 （6）limx?0x?0xx习题1-9

★★1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。

（1）

??0?x?1?x2,?x,?1?x?1f?x???；（2）f?x???

x??1或1?x?2?x,1?x?2?1,知识点：函数连续定义；分段点处的连续性

思路：初等函数在定义域上连续，而在函数的分段点处要分别验证左右连续性。 解：（1）显然函数在定义区间?0,1???1,在分段点x则

x?12?上连续，且在x?0处右连续，在x?2处左连续；

x?1??1处，∵f?1?0??lim?x2?1，f?1?0??lim2?x?1，

f?1?0??f?1?0??f?1?，∴函数在x?1处连续；故函数在?0,2?上连续；

（2）显然函数在???,?1???1,??????1,1?上连续；

在分段点x?1处，∵f?1?0??limx?1，f?1?0??lim1?1，

?则

f?1?0??f?1?0??f?1?，∴函数在x?1处连续；

x?1x?1?优质参考文档

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在分段点x ??1处：f??1?0??lim?1?1；f??1?0??limx??1，极限不存在，故不连续；

x?1x?1?综上，函数在

???,?1????1,???上连续。（见下图）

y y?x21 yy?2?x y?1-1 1 0 1 0 1 图1-9-1-1 2 x x y?x 图1-9-2-2 ★2．下列函数

f?x?在x?0处是否连续？为什么？

（1）

1?ex,?2x?0??xsin,x?0；（2）f?x???sinx f?x???x0?xx?0,???0,?x知识点：函数连续定义； 思路：左右连续分别验证；

1?0?f?0?，则函数在x?0处连续；

x?0xx（2）lim?e?1,lim?sinx?1?f?0?，则函数在x?0处连续；

xx?0x?0解：（1）limxsin2★3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连

续。

x2?1,x??2；,x?1,x?2; （1）y?（2）y?22x?3x?2?x?2?121（3）y?ln?1?x?,x?0；（4）y?cos,x?0； xx1知识点：间断点类型及判定；

思路：间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限； 解：（1）lim1x??2?x?2?2??，∴x??2是第二类的无穷间断点；

?x?1??x?1??limx?1??2，左右极限相等， x2?1?lim（2）x?1时，lim2x?1x?3x?2x?1?x?2??x?1?x?1x?2∴是第一类中的可去间断点，补充定义y?1???2可使函数在该点处连续；

x2?1x?1??lim??，∴是第二类无穷间断点； x?2时，lim2x?2x?3x?2x?2x?2ln?1?x??x?lim??1，∴x?0为第一类可去间断点，补充y?0???1可使函数在该（3）limx?0x?0xx点处连续。

（4）x?0时，cos★★★4．证明：若

1的值在0到1之间来回变动，故x?0是第二类震荡间断点 xf?x?在点x0连续且f?x0??0，则存在x0的某一邻域U?x0?，当x?U?x0?时，

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