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f?x1??f?x2????f?xn???m,M???m1,M1?，由介值定理，必存在???a,b?，使
nf?x1??f?x2????f?xn?得f????。
na?上至少存在一点?，使 ★★9．设f?x?在?0,2a?上连续，且f?0??f?2a?，证明：在?0,f????f???a?。
知识点：零点定理。
思路：从结论的形式中分析找到对应的函数：f?x??f?x?a?，以及对应的闭区间?0,个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。
a?，然后逐
证明：令F?x??f?x??f?x?a?，当x??0,a?时，x?a??a,2a?，由函数f?x?在
?0,2a?上连续，故f?x?在?0,a?上连续，f?x?a?在?0,a?上连续，故F?x?在?0,a?上连 续，且F?0??f?0??f?0?a??f?2a??f?a?，F?a??f?a??f?2a?，
Ⅰ：当f?a??f?2a?时，取??a，则f????f???a?，???0,a?，此时结论成立；
f?a??f?2a?时，F?0?F?a????f?a??f?2a???0，则由零点定理得，存在???0,a?
使得F????0，即f????f???a?；此时结论成立；
Ⅱ：当
2综上，结论成立。
总习题一
★1．求函数
y?3?x?arcsin3?2x的定义域： 5知识点：函数定义域。
3?x?0,??x?3,?3?2x解：由其表达式有?????1?x?3 ?1??1??1?x?4?5??x?★2．设函数f(x)的定义域是?0,1?，求f??的定义域。
x?1??知识点：复合函数的定义域。
解：由已知f(x)的定义域是?0,1?，故对f?xx?x???0,1?，即0??1，解得 ?有：
x?11?x?x?1??x?x??0,???，所以f??的定义域为?0,???
?x?1?2★3．设y?x，要使当x?U?0,??时，y?U?0,2?，应如何选择邻域U?0,??的半径?知识点：函数及邻域定义。
围。
。
思路：由函数值范围y?U?0,解：要使y?U?0,须取?2?，解出x的最大范围；?取值使U?0,??不超过这个最大范
2?，即x2?U?0,2?，即?2?x2?2，只须?2?x?2，此时只
选取不是唯一的，只要选比
是奇函数
?2即可（?2小的正数保证x2?U?0,2?即可）
★4．证明
f?x??1?x2?x?11?x?x?12?x?R?。
知识点：函数奇偶性；
思路：按定义只需证f?x??f??x??0即可；
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解：函数定义域为R，f?x??f??x??1?x2?x?11?x?x?122?1?x2?x?11?x?x?12
?(1?x2?x?1)1?x2??x?1??1?x2??x?1?1?x2??x?1?(1?xf?x???f??x?，是奇函数；
2????1?x)?1?x?1?x????
?0，故
★★5．设函数
试证：y?f(x) f(x)，x????,???的图形关于x?a，x?b均对称?a?b?，
是周期函数，并求其周期。
知识点：周期函数定义，及对称图形的性质
思路：如若函数图形关于x?a对称，则f?x?a??f?x?a? 解：f?x??f?a??x?a??，由函数图形关于x?a对称知，
f?a??x?a???f?a??x?a???f?2a?x?，而f?2a?x??f?b??2a?x?b??，由函数图 形关于x?b对称，则f?b??2a?x?b???f?b??2a?x?b???f?2b?2a?x?， f?x??f?x?2b?2a?；则y?f(x)是周期函数，且其周期T?2b?2a； ★★6．设f(x)在?0,???上有意义，0?x1，0?x2，求证：
f?x?（1）若单调减少，则f?x1?x2??f?x1??f?x2?； xf?x?（2）若单调增加，则f?x1??f?x2??f?x1?x2?。 x知识点：单调性 思路：因为题中涉及x1,x2,x2?x1三者对应函数值的关系，故可按单调性比较它们的大小
f?x?解：（1）?0?x1，0?x2，∴x1?x1?x2,x2?x1?x2；又?单调减少， xf?x1?x2?f?x1?f?x1?x2?f?x2?f?x1?x2????x2?f?x2?， ∴，，∴x1?x2x1x1?x2x2x1?x2f?x1?x2??x1?f?x1?，两式相加化简得：f?x1?x2??f?x1??f?x2?； x1?x2（2）同理可证。
★★7．求下列函数的反函数：
?x,???x?11?1??2（1）y??x??，?x?1?；（2）y??x,1?x?2。
2?x??3x,2?x???知识点：求分段函数的反函数
思路：从函数中解出x即可，需注意范围的对应 解：（1）y?1?1?2?x???x?2xy?1?0， 2?x?y2?1，且x?y?y2?1。
由韦达定理，上式有实解当且仅当当
y?1时，0?y?y2?1?1，与x范围不符，故x?y?y2?1舍掉；
2y??1，?1?y?y2?1?0（可分别验证），故x?y?y?1舍掉；
当
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2??y?y?1,y?1综上，x??，按习惯将自变量用x来记，所求函数的反函数为
2y??1??y?y?1,2??x?x?1,x?1。 y??2x??1??x?x?1,?x,???x?1?y,???y?1?2?1?y?4，则所求函数的反函数为 （2）y??x,1?x?2?x??y,?3x,2?x???logy,9?y????3??x,???x?1?y??x,1?x?4
?logx,9?x????322★8．求函数f(x)的表达式：f?sinx??cos2x?tanx，0?x?1。
知识点：复合函数定义
思路：用三角公式将等式右端表达为sinx的函数，即可求得f(x)
2sin2x解：fsinx?cos2x?tanx?fsinx?1?2sinx? 2cosxsin2x2?1?2sinx? 21?sinxt12令sinx?t，得f?t??1?2t???2t?,0?t?1；
1?t1?t1故f?x???2x?,0?x?1；
1?x?1?★★9．设f?x?满足方程：af?x??bf????sinx，?a?b?，求f(x)。
x??2222????知识点：函数定义
思路：已知等式对任意x成立，自然对x?也成立
1t1?1??1??sinx?af??bft??sin?????t?x??t?1?1?用何字母表示无关，①可化为af????bf?x???sin，则解方程组
x?x???1?afx?bf??????sinx?1?1???x?asinx?bsin得：f?x??2?? ?2x?a?b??af??1??bf?x???sin?1???????x???x?解：令x??，则af?x??bf??★10．设函数
1t①，由函数自变量与
f(x)?ex2x2，
f???x???1?x，且??x??0，求??x?及其定义域；。
?2?x?知识点：函数的复合； 解：f(x)?e?f???x???e，则e?2?x??1?x，解得：?2?x??ln?1?x?，由??x??0，
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知，??x??★11．设
?ln?1?x??0?1?x?1?x?0； ln?1?x?；显然??x?的定义域为?1?x?0??1,x?1?f?x???0,x?1，g?x??ex,求f?g?x??，g?f?x??，并做出图形：
??1,1?x?知识点：分段函数的复合； 思路：在对应的范围内代入即可；
x?e?11,x?0?1,?????0ex?1?f?g?x????0,x?0??1,??1,0?x， x?1?e??解：
f?g?x???fex??
y y 1 e x 1 ?1 0 图1-11（1） e?1 x ?1 0 1 图1-11（2） ?e,x?1?g?f?x????1,x?1，
?e?1,1?x?★★12．设
g?x??0，则f?f?x???f?0??0,f?g?x???f?0??0，
g?f?x???g?0??0,g?g?x???g?0??0；
22当x?0时，f?x??x,g?x???x，则f?f?x???f?x??x,f?g?x???f??x??0
解：当x?0时，f?0??0,g?f?x??。
x?0?0,?0,x?0，g?x???，求f?f?x??，g?g?x??，f?g?x??， f?x???2x?0x,x?0???x,g?f?x???g?x???x2,g?g?x???g?x2?0；
??x?0?0,?0,x?0，f?g?x???0，g?f?x????；g?g?x???0； f?f?x????2?x,x?0??x,x?0111????2★★13．xn?，求limxn。
n??3154n?1故
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