11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处（r?R）P点的电势。 解：利用高斯定律：
??2SE?dS?1?0?qS内可求电场的分布。
?orPQrQr3E内?4?rE内??34??0R3； ?0R；有：（1）r?R时，
QQ4?r2E外?E外?2?4??r0；有：0（2）r?R时，；
离球心r处（r?R）的电势：
PRUr??E内?dr??E外?drrRR?，即：
Ur??
Rr?QrQ3QQr2?dr???dr??R4??r24??0R38??R8??0R3。 0011-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半
径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当
r?R1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0，
R?r?R2时，有：
当1E2???(r3?R13)4??0r243?(r3?R13)?3?0r2，
r?R2时，有：当
R2E3?3??(R2?R13)434??0r2R213?(R2?R13)?3?0r2，
以无穷远处为电势零点，有：
U??E2?dr??E3?dr??RR1R2?33??(R?R)?(r3?R13)?2221?(R?R)dr?dr2122?R2?03?0r3?0r。
2
11-16．电荷以相同的面密度??分布在半径为
r1?10cm和r2?20cm的两个同心球面上，设
无限远处电势为零，球心处的电势为U0?300V。
（1）求电荷面密度?；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度??为多少？
?122?1?2??8.85?10C?Nm0（）
解：（1）当
r?r1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0，
r1?r12E2?2r?r?r?r120当时，利用高斯定理可求得：，
?(r12?r22)E3?2r?r?r20当时，可求得：，
∴
Or2U0??E2?dr??E3?dr??r1r2?r1r2r222?r12??(r1?r2)dr??dr??(r1?r2)22r?0r?0r?0
28.85?10?12?300?92????8.85?10Cmr1?r230?10?3那么： （2）设外球面上放电后电荷密度?'，则有：
?r??'??1??U0'?(?r1??'r2)/?0?0，∴r22
?0U0则应放掉电荷为：
322?q?4?r2(???')???4?r2?4?3.14?8.85?10?12?300?0.2?6.67?10?9C。 2
11-17．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处
的电势为零）。
解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，
24??r0均匀带电球面在球面外的场强分布为：（r?R）。
取细线上的微元：dq??dl??dr，有：dF?Edq，
E?q∴
F??r0?lr0??qlr?dr?24??0x4??0r0(r0?l)（r?为r方向上的单位矢量） qU?q4??0r（r?R，?为电势零点）。
qdW???dr4??rdq??dr0对细线上的微元，所具有的电势能为：，
（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：
W?∴
q4??0?r0?l?drrr0?q?4??0lnr0?lr0。
11-18. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，p与E之间夹角为?，如图
?所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180，外力需作功多少？
解：由功的表示式：dA?Md?
A?考虑到：M?p?E，有：
?????pEsin?d??2pEcos?。
11-19．如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为?(＞0)今有一质量为m，电荷为?q的粒子(q＞0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为v0，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性
始终不变)。
解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x0处产生的电势为：
U??2(R2?x0?x0)2?0，那么，
UOb?UO?Ub??(R?b?R2?b2)2?0，
1112q?2mv2?mv0?(?qUOb)?mv0?(R?b?R2?b2)222?0由能量守恒定律，2，
2v?v0?有：
q?(R?b?R2?b2)m?0
思考题11
11-1．两个点电荷分别带电q和2q，相距l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?
qQ2qQ?224??x4??(l?x)00答：由，解得：x?l(2?1)，即离点电荷q的距离为l(2?1)。
11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？
（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；
（C）场强方向可由E?F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力；
（D）以上说法都不正确。 答：（C）
11-3．真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q(q＜0)，今在球
面面上挖去非常小的一块面积?S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去?S后球心处的电场强度大小和方向.
??答：题意可知：
q4??0R2，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，
E?有：
??S4??0R2，方向指向小面积元。
11-4．三个点电荷q1、q2和?q3在一直线上，相距均为2R，以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求：
(1)通过该球面的电通量(2)A点的场强EA。
??E?dS；
??q1?q2解：(1)
SE?dS??0；
EA?(2)
q3q1q2??4πε0(3R)24πε0R24πε0R2。
11-5．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处， 有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量
为多少？
解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：
?闭合?q/?0，那么，
??通过该平面的电场强度通量为：
11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？
(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A)
11-7．由真空中静电场的高斯定理
q6?0。
?SE?dS?1?0?q可知
(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C)
11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。
(A)半径为R的均匀带电球面； (B)半径为R的均匀带电球体；
(C)半径为R、电荷体密度??Ar(A为常数）的非均匀带电球体；
(D)半径为R、电荷体密度??A/r(A为常数)的非均匀带电球体。
答：(D)
11-9．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为
qq(A)4??0r (B)4??0qq(C)4??0?r?R? (D)4??0?11?????rR? ?11?????Rr?
答：(B)
11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12．当电势差增加到4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？
U124U1244q?ρ?πr3gq??ρ?π(2r)3g33解：d┄①，d┄②
∴①②联立有：q??2q?4e。
11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量)：
答：(C)
11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？答：不能。见书中例11-12。