备战2020-2021高考数学

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°

12?3?3＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值

4513211 (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2211=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

2211=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°

22－sin60°sin20°)

=

33113cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°

44242331=1－cos40°－(1－cos40°)=

444=1－

解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则 x+y=1+1－3sin60°=

1，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100° 2=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=

11，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=. 4412［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.

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命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.

技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

a2a2?4a?2解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：

22?1 (a??2)?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2)

2?1?4a (a?2)??∵f(a)=

111,∴1－4a=?a=?［2,+∞) 228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，

2211y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

22［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+

?)－3sin2x+sinxcosx 3(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［

?7?－－

，］时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值. 1212命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，

综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.

－

错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.

?)－3sin2x+sinxcosx 3??=2cosx(sinxcos+cosxsin)－3sin2x+sinxcosx

33?=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+)

3解：(1)f(x)=2cosxsin(x+∴f(x)的最小正周期T=π

??5?=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.

1232?7??(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［,］,

223??3??5?∴2x+∈［,］,∴2x+=，则

33236(2)当2x+

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x=

??－

，故f-1(1)= . 44●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.

2.技巧与方法：

1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.

3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.

4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－

??,2221A. 2二、填空题

)，则tan

???的值是( ) B.－2

C.

4 3 D.

1或－2 2?31，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________. 522?3?5??33?3.(★★★★★)设α∈(,)，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则

44413445sin(α+β)=_________.

三、解答题

2.(★★★★)已知sinα=4.不查表求值:

2sin130??sin100?(1?3tan370?)1?cos10?.

sin2x?2sin2x17??37?5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.

1?tanx541241?cos(???)??86.(★★★★★)已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).求?4sin2(?)的

??443csc?sin22最大值及最大值时的条件.

7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.

8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=log122x?3的最小值，并求取得最小值时x

4x?10的值.