第2讲 三角恒等变换与解三角形

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 诱导公式及两角和的正2019 切公式·T7 正、余弦定理的应用·T11 三角函数的定义及恒等2018 变换·T11 正、余弦定理及三角形面积公式·T16 三角恒等变换、正弦定理2017 解三角形·T11 三角恒等变换求值问题·T15 (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.

(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上.

(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).

考点一 三角恒等变换

[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A.－C.－

15

715 8B.D.15 715 8利用正、余弦定理解三角形·T16 全国卷Ⅱ 二倍角公式的应用·T11 正弦定理的应用·T15 二倍角公式及余弦定理·T7 诱导公式及三角恒等变换·T15 全国卷Ⅲ 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18 二倍角公式·T4 三角形的面积公式及余弦定理·T11 三角恒等变换求值问题·T4 利用正弦定理解三角形·T15 (2)已知sin α＝5πA. 12πC. 4

510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( ) 510

π

B. 3πD. 6

[解析] (1)法一：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝15

152tan θ15则tan 2θ＝＝＝，故选B.

71－tan2θ15?2?1－

?15?

2×法二：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan 2θ＝2sin θcos θ2sin θ·15sin θ15＝＝，故选B.

7cos2θ－sin2θ（15sin θ）2－sin2θππ

(2)∵0<α<，0<β<，

22ππ

∴－<α－β<.

22∵sin(α－β)＝－

105

，sin α＝， 10515

，15

sin 2θ＝

cos 2θ31025∴cos(α－β)＝，cos α＝，

105∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝

253105210?×＋×?－＝， 5105?10?2π∴β＝.

4

[答案] (1)B (2)C

[解题方略] 三角函数求值的类型及方法

解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角给角求值 的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适给值求值 当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用.同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 给值求角

实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围

[跟踪训练]

1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A.－2－3 C.2－3

B.－2＋3 D.2＋3

解析：选D tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝33tan 45°＋tan 30°＝＝2＋3.故选D.

1－tan 45°tan 30°3

1－

3

1＋

43

cos θ－?＋?sin θ－?i是纯虚数(i为虚数2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝?5??5??π

单位)，则tan?θ－?的值为( )

4??

A.－7 C.7

1

B.－

71

D.－7或－

7

4

cos θ－＝0，

5

解析：选A 由复数z为纯虚数，得

3

sin θ－≠0，

5

???

?cos θ＝5，3

即?又sinθ＋cosθ＝1，所以sin θ＝－，

53

sin θ≠，?5

2

2

4

π3

tan θ－tan －－1

44π3

所以tan θ＝－，于是tan?θ－?＝＝＝－7.

43?4??π?1＋?－4?×11＋tan θtan

4

ππ1

3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈?－，?，且2sin2θ＋3sin 2θ＝－，则

5?612?π

tan?2θ＋?＝________.

12??

11

解析：由2sin2θ＋3sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋3sin 2θ＝－，得cos 2θ－3sin

55ππ6π3πππ6

2θ＝，2cos?2θ＋?＝，即cos?2θ＋?＝，又θ∈?－，?，所以2θ＋∈?0，?，

53?3?53?52????612?

ππ

tan?2θ＋?－tan

43??π4πππ1

则tan?2θ＋?＝，所以tan?2θ＋?＝tan??2θ＋?－?＝＝.

3?312?3?4?????π?π7?1＋tan2θ＋tan

3?4?

1

答案：

7

考点二 利用正、余弦定理解三角形

题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算

3c

[例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.

acos B(1)求角A的大小；

(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c. 3c

[解] (1)∵在△ABC中，＝tan A＋tan B，

acos B∴即∴

3sin Csin Asin B

＝＋，

sin Acos Bcos Acos B

3sin Csin Acos B＋sin Bcos A

＝，

sin Acos Bcos Acos B31

＝，则tan A＝3， sin Acos A

π

又0

3(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7， 25＋9－491

得cos∠BDC＝＝－，

22×3×52π

又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝.

3

π

又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.

3

[变式1] 若本例(2)变为：a＝3，求b＋c的取值范围. 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得b2＋c2－3＝bc，

3

即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，

4

∴b＋c≤23，

又由两边之和大于第三边可得b＋c>3， ∴b＋c∈(3，23].

[变式2] 若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝3，求AD的取值范围. 11

解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsin A，

221

∴AD＝bc.

2

1b2＋c2－a22bc－3

由余弦定理得cos A＝＝≥，

22bc2bc∴0

0，?. ∴0

[解题方略] 正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理. [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.

题型二 利用正、余弦定理进行面积计算

A＋C

[例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝

2bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. A＋C

[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.

2A＋C

因为sin A≠0，所以sin＝sin

2由A＋B＋C＝180°，可得sinBBB故cos＝2sincos.

222BB1

因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.

222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝由(1)知A＋C＝120°，

B.

A＋CB

＝cos， 22

3a. 4