高考数学二轮复习讲义专题一三角恒等变换与解三角形 下载本文

第2讲 三角恒等变换与解三角形

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 诱导公式及两角和的正2019 切公式·T7 正、余弦定理的应用·T11 三角函数的定义及恒等2018 变换·T11 正、余弦定理及三角形面积公式·T16 三角恒等变换、正弦定理2017 解三角形·T11 三角恒等变换求值问题·T15 (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.

(2)若无解答题,一般在选择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般,一般出现在第4~11或第14~16题位置上.

(3)若以解答题命题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第17(或18)题位置上,难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时,与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).

考点一 三角恒等变换

[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ=cos(2π-θ),则tan 2θ=( ) A.-C.-

15

715 8B.D.15 715 8利用正、余弦定理解三角形·T16 全国卷Ⅱ 二倍角公式的应用·T11 正弦定理的应用·T15 二倍角公式及余弦定理·T7 诱导公式及三角恒等变换·T15 全国卷Ⅲ 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18 二倍角公式·T4 三角形的面积公式及余弦定理·T11 三角恒等变换求值问题·T4 利用正弦定理解三角形·T15 (2)已知sin α=5πA. 12πC. 4

510,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于( ) 510

π

B. 3πD. 6

[解析] (1)法一:由15sin θ=cos(2π-θ),得15sin θ=cos θ,所以tan θ=15

152tan θ15则tan 2θ===,故选B.

71-tan2θ15?2?1-

?15?

2×法二:由15sin θ=cos(2π-θ),得15sin θ=cos θ,所以tan 2θ=2sin θcos θ2sin θ·15sin θ15==,故选B.

7cos2θ-sin2θ(15sin θ)2-sin2θππ

(2)∵0<α<,0<β<,

22ππ

∴-<α-β<.

22∵sin(α-β)=-

105

,sin α=, 10515

,15

sin 2θ=

cos 2θ31025∴cos(α-β)=,cos α=,

105∴cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =

253105210?×+×?-=, 5105?10?2π∴β=.

4

[答案] (1)B (2)C

[解题方略] 三角函数求值的类型及方法

解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角给角求值 的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适给值求值 当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的 给值求角

实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围

[跟踪训练]

1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°=( ) A.-2-3 C.2-3

B.-2+3 D.2+3

解析:选D tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)=33tan 45°+tan 30°==2+3.故选D.

1-tan 45°tan 30°3

1-

3

1+

43

cos θ-?+?sin θ-?i是纯虚数(i为虚数2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z=?5??5??π

单位),则tan?θ-?的值为( )

4??

A.-7 C.7

1

B.-

71

D.-7或-

7

4

cos θ-=0,

5

解析:选A 由复数z为纯虚数,得

3

sin θ-≠0,

5

???

?cos θ=5,3

即?又sinθ+cosθ=1,所以sin θ=-,

53

sin θ≠,?5

2

2

4

π3

tan θ-tan --1

44π3

所以tan θ=-,于是tan?θ-?===-7.

43?4??π?1+?-4?×11+tan θtan

4

ππ1

3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈?-,?,且2sin2θ+3sin 2θ=-,则

5?612?π

tan?2θ+?=________.

12??

11

解析:由2sin2θ+3sin 2θ=-,得1-cos 2θ+3sin 2θ=-,得cos 2θ-3sin

55ππ6π3πππ6

2θ=,2cos?2θ+?=,即cos?2θ+?=,又θ∈?-,?,所以2θ+∈?0,?,

53?3?53?52????612?

ππ

tan?2θ+?-tan

43??π4πππ1

则tan?2θ+?=,所以tan?2θ+?=tan??2θ+?-?==.

3?312?3?4?????π?π7?1+tan2θ+tan

3?4?

1

答案:

7

考点二 利用正、余弦定理解三角形

题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算

3c

[例2] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=tan A+tan B.

acos B(1)求角A的大小;

(2)设D为AC边上一点,且BD=5,DC=3,a=7,求c. 3c

[解] (1)∵在△ABC中,=tan A+tan B,

acos B∴即∴

3sin Csin Asin B

=+,

sin Acos Bcos Acos B

3sin Csin Acos B+sin Bcos A

=,

sin Acos Bcos Acos B31

=,则tan A=3, sin Acos A

π

又0

3(2)由BD=5,DC=3,a=7, 25+9-491

得cos∠BDC==-,

22×3×52π

又0<∠BDC<π,∴∠BDC=.

3

π

又A=,∴△ABD为等边三角形,∴c=5.

3

[变式1] 若本例(2)变为:a=3,求b+c的取值范围. 解:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得b2+c2-3=bc,

3

即(b+c)2-3=3bc≤(b+c)2,当且仅当b=c时取等号,

4

∴b+c≤23,

又由两边之和大于第三边可得b+c>3, ∴b+c∈(3,23].

[变式2] 若本例(2)变为:AD⊥BC,且a=3,求AD的取值范围. 11

解:∵S△ABC=AD·BC=bcsin A,

221

∴AD=bc.

2

1b2+c2-a22bc-3

由余弦定理得cos A==≥,

22bc2bc∴0

0,?. ∴0

[解题方略] 正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理. [注意] 应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.

题型二 利用正、余弦定理进行面积计算

A+C

[例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=

2bsin A.

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. A+C

[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.

2A+C

因为sin A≠0,所以sin=sin

2由A+B+C=180°,可得sinBBB故cos=2sincos.

222BB1

因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.

222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=由(1)知A+C=120°,

B.

A+CB

=cos, 22

3a. 4