高中数学专题训练——古典概型与几何概型

[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）

A．

4 923177983122B．

92C．

31D．

354（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰

子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY?1的概率为

A．

D．

（

）

1 6B．

5 36C．

1 121 2（

）

（3）在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面

积介于36cm2与81cm2之间的概率为

A．

C．

5 6B．

1 213D．

1 6S”的概率3（4）向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于为 ．

（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．

[例2]考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过

时即可离去．求两人能会面的概率．

【练习】

1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组

中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （

A．

）

1 5B．

5 24C．

10 81D．

5 122． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次

摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，第8个人摸出红球的概率是P8，则

A．P8=P1

D．P8=0

（

）

18B．P8=

4P1 5C．P8=P1

3． 如图，A、B、C、D、E、F是圆O的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为

（ ） F

1 22C．

3A．131D．

4B．

A O B E

D

C 第3题图

4． 两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大

于1m的概率为

A．

B．

（

）

1 213C．

1 4D．

2 35． 一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，

设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为 ．

6． 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随

意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．

AB于P，7． 在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交?则同时满足：∠AOP≥45°

且∠BOP≥75°的概率为 ．

8． 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该

招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．

（1）共有多少个基本事件？

（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？

9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的3倍的概率．

10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．

1411②设“VP-ABC≥V且VP-BCD≥V”的事件为Y，求概率P(Y)．

44①设“VP-ABC≥V”的事件为X，求概率P(X)；

古典概型与几何概型

A组

1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为

（ ）

2? D． ??42． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）

1111 A． B． C． D．

2463x2y23． 已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)及内部面积为S=πab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2

ab是短轴的两个顶点，点P是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ） ①△PA1A2为钝角三角形的概率为1； ②△PB1B2为直角三角形的概率为0；

b ③△PB1B2为钝角三角形的概率为；

ab ④△PA1A2为钝角三角形的概率为；

aa?b ⑤△PB1B2为锐角三角形的概率为。

a A．1 B。2 C。3 D。4

4． 古典概型与几何概型的相同点是 ，不同点是基本事件的 ．

5． 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．其中“恰有两枚正面向上”

的事件包含 个等可能基本事件．

6． 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．

7． 如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和 ∠

BOC都不小于30°的概率．

A D C E

A．

2 B．

??2 ?C．

O

B

第7题

8． 如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：

问题1 在底边BC上任取一点P，使BP＜AB； A B P

第8题

C

问题2 在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．

古典概型与几何概型

B组

1． 在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为 （ ）

A．

1 2B。

1 10C。

1 20D。

1 402． 一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出红球的

概率为 （ ）

A．

1 22B。

5 22C。

3 11D。

6 113． 已知O（0，0），A（30，0），B（30，30），C（0，30），E（12，0），F（30，18），

P （18，30），Q（0，12），在正方形OABC内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ内的概率为 （ ）

A．

4 25B。

21 25C。

7 25D。

16 254． 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的

概率是_________．

5． 在所有的两位数（10~99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 ． 6． 在△AOB中，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C。试分别求下列事件

的概率： ①△AOC为钝角三角形； ②△AOC为锐角三角形； ③△AOC为锐角三角形。

7． 在区间[-1，1]上任取两实数a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率．

8． 一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖

离岸边不超过2m”．求P（A）

参考答案

古典概型与几何概型

【典型例题】 [例1]（1）A。

（2）C．提示：总事件数为36种。而满足条件的(x，y)为（1，2），（2，4），（3，6），共

3种情形。

（3）D．提示：M只能在中间6cm~9cm之间选取，而这是一个几何概型。

（4）作△ABC的边BC上的高AD，取E∈AD且ED=AD，过E作直线MN∥BC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，△PBC的面积小于△ABC的面积的，故

1313P=

S梯形BCNMS?ABC?5． 9（5）

1。提示：总事件数为6×6=36种，相同点数的有6种情形。 6[例2]由方程有实根知：m2≥4n．由于n∈N*，故2≤m≤6．

骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6×6=36种情形．其中满足条件的有： ①m=2，n只能取1，计1种情形； ②m=3，n可取1或2，计2种情形； ③m=4，n可取1或2、3、4，计4种情形；

④m=5或6，n均可取1至6的值，共计2×6=12种情形． 故满足条件的情形共有1+2+4+12=19（种），答案为

19． 36[例3]以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是x?y≤15．在平面上建立直角坐标系如图7，则(x，y)的

本事件可以看作是边长为60的正方形，而可能会面的时间的阴影部分所表示．故

60 y 所有基由图中

602?4527?P(两人能会面) ?． 16602答 两人能会面的概率为

15 O 15 60 x 例3答图

7． 16【练习】

1． D。3个人加入6个小组中有36种方法。3人中恰有2人在同一小组的，于是只须加入两个

小组，共有

15?656?5=15种选择，而3人的分组又有6种情形，故答案为?。

2161222． C。提示:虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果，那么各个

摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性．∴P8=P1。 3． B。