第2讲 不等式选讲
[做真题]
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： 111222
(1)＋＋≤a＋b＋c；
abc3
(2)(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.
证明：(1)因为a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac，且abc＝1，故有
2
2
2
2
2
2
33
ab＋bc＋ca111
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
abcabc111222
所以＋＋≤a＋b＋c.
abc(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
3333333(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac) ＝24.
所以(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)． (1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)． 当x<1时，f(x)＝－2(x－1)<0；当x≥1时，f(x)≥0. 所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)的最小值；
1222
(2)若(x－2)＋(y－1)＋(z－a)≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
3解：(1)由于
[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]
＝(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]，
2
2
2
2
2
22
2
2
22
3
3
3
4511222
故由已知得(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
33334222
所以(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)的最小值为.
3(2)证明：由于
[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]
＝(x－2)＋(y－1)＋(z－a)＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)] ≤3[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]，
(2＋a)
故由已知得(x－2)＋(y－1)＋(z－a)≥，
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
4－a1－a2a－2
当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
333(2＋a)
因此(x－2)＋(y－1)＋(z－a)的最小值为.
3
2
2
2
2
(2＋a)1
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.
33
[明考情]
1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．
2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．
含绝对值不等式的解法
[典型例题]
(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围． 【解】 (1)当a＝1时， 2x＋4，x≤－1，??
f(x)＝?2，－1＜x≤2，
??－2x＋6，x＞2.
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
[对点训练]
1
1．(2019·广州市调研测试)已知函数f(x)＝|x－a|(a∈R)．
31
(1)当a＝2时，解不等式|x－|＋f(x)≥1；
3
111
(2)设不等式|x－|＋f(x)≤x的解集为M，若[，]?M，求实数a的取值范围．
332解：(1)当a＝2时，不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，
1
①当x≤时，不等式可化为1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；
31
②当 33 ③当x≥2时，不等式可化为3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2. 2综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}． 1 (2)不等式|x－|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，依题意不等式|3x－1|＋|x－ 3 a|≤3x在x∈[，]上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，即a－1≤x≤a＋1， 1314 所以，解得－≤a≤， 231 a＋1≥ 2 1132 ????? a－1≤ 14故实数a的取值范围是[－，]． 23 2．(2019·长春市质量监测(二))设函数f(x)＝|x＋2|. (1)求不等式f(x)＋f(－x)≥6的解集； (2)若不等式f(x－4)－f(x＋1)>kx＋m的解集为(－∞，＋∞)，求k＋m的取值范围．