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《数学分析》中极限问题的浅析

极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。

完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。

下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。

一 求数列极限

（一） 利用迫敛性定理求极限

首先说明迫敛性定理求极限，这是一种简单而常用的方法。

lim n例1、证明 （1） n ? ? a ? 1 (a > 0)

lim n （2） n??n?1 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。

当a >1时，令 n a ? 1 ?hn (hn > 0)

n(n?1)2nhn???hn?nhn则：a = (1 + hn )n = 1 + nhn + 2 a 故0 < hn < 由迫敛性定理 nlim h = 0

n??n

lim nlim

即： n ? ? a ? n ? ? (1 + hn) = 1 当 0 < a < 1时：

1 1 n lim lim

n??a?n??1 ?lim 1nna n??a

- 1 -

[1]

= 1

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（2） 设 nn?1?hn其中hn > 0 n ?2则

n = (1 + hn)n = 1 + nhn +

>

n(n?1)2nhn???hn2n(n?1)2hn2即： 0 < hn <

2(n?2)n?1

lim

从而： n lim ? ? n n ? n??(1 + hn) = 1

12nlim

例：求极限 ? ??n?e??e????e???0?? ?

由迫敛性定理得 n lim hn = 0 ??

?????n

n1n

解：当??0时：e??e????e??ne?

n??1n ? 即：e ?????e???e??n?en令 ??0?? ??

由迫敛性定理可得：

2n?lim ?1? nn?0??e??e????e???e?? ??

从而：由连续函数定义知：

n 1???lim

n ? 0 ? ??n??e???e?

[2]

???n??极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式，现叙述如下：

设数列?an?，若存在?0?0，对任意自然数N0，?N1?N0，

而aN1?a??0。则?an?不以a为极限。（二）单调有界原理求极限

单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。

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例：单调数列

?imxnk?ak???xn?收敛于a的充要条件是存在子列 x n 使得

k??

证：不妨设设 ? x n ? 是单调递增数列，必要性显然。

a?k??? 充分性：若 Xnk则：

对任意的

??0 ，存在k0 ，当k ≥ k0 时：

1Xnk a1 = a Xnk <

?当n ≥ nk时：有 xn?a?a?xn?a?xnk??此即为： xn?a?n????????例：设 x0???,?xn?sinxn?12?22?n?1.2.?求证 n?x

?收敛，并求

证：当x0 = 0时 显然xn= 0 (n =1. 2.…) 故： lim xn = 0

n?? ??sinx?2?x?sinx??x???x??x0??当：x?0,时, 1000022x02?2

?sinx2? ??当x?(0,时，容易证明??o?2x?? ?

sinx1??x?sinx??x??x1211 22x1 …… sinxn?1??x?sinx??x??xn?1nn?1n?1 22xn?1

故可得： x0?x1?x2???xn?? 故 xn 是单调有上界的函数，从而收敛。

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lim

n??xn