沪科版七年级数学下册知识点

数学是一门研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的学科； 数学解题的关键就是知识和方法；

知识是锁眼，方法是钥匙。缺少哪个都不能打开题目这把锁； 那么我们的数学学习也要针对这两点进行。

一、掌握课本知识内容及内涵

数学知识是数学解题的基石。只有掌握了课本知识的内容，理解知识的内涵，才能更好地运用它来解决问题。

二、多看例题

数学有的概念、定理较抽象，我们可以通过例题，将已有的概念具体化，使

自己对知识的理解更加深刻，更加透彻！看例题时，还要注意以下几点：

1、看一道例题，解决一类问题。不能只看皮毛，不看内涵。我们看例题，要注意总结并掌握其解题方法，建立起更宽的解题思路。不能看一道题就只会一道题，只记题目答案不记方法，这样看例题也就失去了它本来的意义。每看一道题目，就应理清解题思路，掌握解题方法，再遇到同类型的题目，我们就不在难了。既然有“授人以鱼，不如授人以渔”，那么我们是不是也可以说“要鱼不如要渔”呢！

2、我们不仅要看例题还要会总结，总结题型、解题思路和方法。运用了哪些数学思想。最好把总结的写出来。以后复习时再看，就事半功倍了。

3、会模仿，也要创新。在看例题的解题时，首先想自己遇到这个题怎么做，然后看例题怎么解答的，之后我们还要思考还有没有其它方法和思路。我们最后看哪种方法更简便。

三、多做练习

“多”讲的是题型多，不是题目数量多。不怕难题，就怕生题。题海战术不

一定好，但是接触的题型多了，总结的解题方法多了。以后遇到相同类型的题目也就不怕了。

四、心细，多思，善问，勤总结

数学是严谨的，做题目时要细心，一个符号之差，题目的解就可能完全不一样了，遇到问题要多思考，培养自己的数学思维，思考实在不会的，我们就要问，去弄懂。

在数学学习过程中，我们要会总结，还要勤总结。多总结知识内容，总结解题方法，解题思想。一方面能够起到复习巩固的作用，另一方面能提高自己的自学能力。

数学的四大思维体系：数形结合、函数思想、分类讨论、方程思想。

第六章 实 数

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一、知识总结

（一）平方根与立方根

1、平方根

（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。

（2）表示：非负数a的平方根记作±a ，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数） （3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。

Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根

（1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 （2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性； 即：a≥0恒成立。 （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根：

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。

（2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数） （3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。

（二）实数

1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、实数：有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似） 6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······

二、解题实用

1、2?1.41421 3?1.732 5?2.236 2、a?a

2?a?2?a 3a3??a??a

33 3、a?b?ab a?b?

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aa? ?b?0?

bb

三、典题练习

1、16的平方根是 ；?-3?的算术平方根是 ；-32的立方根是 。

22、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。

3、一个自然数的算术平方根是x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号）

① x ② x?1 ③x2 ④ 3x?1 ⑤ x?1 5、当x<-1时，x2，-x,-x3和6、比较下列各组数的大小

?1?2-3与2-2 ?2?1与7 ?3?35与211 ?4?-1的大小关系 。 x11与- 2?7457、7-2的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。 8、已知x?3，y为4的平方根，xy?0，求x+y的值。 9、已知x?3?y-2?0，求x+y的平方根。

2

10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是 。 11、a为5的整数部分，b为5的小数部分，则a+2b的值为 。 12、若2011-a?a-2012?a，试求a-2011的值。（提示：找出题中的隐含条件）

2第七章 一元一次不等式与不等式组

一、知识总结

（一）不等式及其性质

1、不等式：

（1）定义用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。

不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。

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（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。

2、不等式的基本性质

性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

即：如果a?b，那么a?c?b?c.

性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 即：如果a?b，并且c?0，那么ac?bc；

ab?. cc 性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 即：如果a?b，并且c?0，那么ac?bc；

性质4：如果a?b，那么b?a.（对称性） 性质5：如果a?b,b?c,那么a?c.（传递性）

ab?. cc

（二）一元一次不等式

1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式， 叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法：

根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；

(4)合并同类项；(5)系数化为1.

解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。 3.不等式的解集在数轴上表示：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式组

1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。

3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 4、一元一次不等式组的解法

1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况： 不等式组?a?b? 解集 口诀记忆 同大取大 同小取小 ?

x?ax?b x?b ?x?ax?b x?a - 4 -

??x?ax?b a?x?b 无解 大小小大中间找 大大小小则无解 x?ax?b （四）一元一次不等式（组）解决实际问题

解题的步骤：

⑴审题，找出不等关系→ ⑵设未知数→ ⑶列出不等式（组）→ ⑷求出不等式的解集→ ⑸找出符合题意的值→ ⑹作答。

二、解题技巧

一、有解无解问题：

x?a（1）x?bx?a（3）x?b??????x?a有解：a?b无解：a?b（2）x?b

???有解：a?b无解：a?b

有解：a?b无解：a?b

2、特征解问题：

解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m) 当作已知数，去解原式——→得到原式的解（含m)——→根据解的特征列出式子（关于m的式子)——→解出m的值。

例：已知a?x?2x?1的解集为x?1，求a的值。 解：解不等式a?x?2x?1 ······把a当作已知数，去解原式 得x?a?1 ······得到原式的解（含a) 则a-1?1 ······根据解的特征列出式子 解得a?2 ······解出a的值

三、典题练习

x?m?11、若关于x的不等式x?2m?1有解，则m的取值范围是？若无解呢？

2x?y?1?m2、已知关于x，y的方程组x?2y?2的解满足x?y?0，求m的取值范围。

??3、适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：

（1）x只有一个整数解； （2）x一个整数解也没有。 4、解不等式（组）

?2x?5?3x,?（1）?x?2x （2）

???3?2?2?4x?3x?7,?3x?32x?1??x,???23 ?6x?3?5x?4, （3）??3x?7?2x?3.?1[x?2(x?3)]?1.???23y?82(10?y)??1. 37（4）－5＜6－2x＜3 （5）y?5、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．

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