一，常微分方程的基本概念

常微分方程：

含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).

1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。

2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。

4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。

注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本 概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如

dy=f（x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里fdx（x），φ（x）分别是x，y的连续函数。 2.解法：分离变量法?dy?f(x)dx?c. （*） ?(y)?说明： a由于（*）是建立在φ（y）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中）

b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.ydx?(x2?4x)dy?0

解：由题意分离变量得：2dx?dy?0

x?4y

即：

111dy(?)dx??0 4x?4xy14 积分之，得：(lnx?4?lnx)?lny?c

故原方程通解为：(x?4)y4?cx （c为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。

2xtf(x)??f()dt?ln2*例2.若连续函数f（x）满足，则f（x）是？ 02 解：对给定的积分方程两边关于x求导，得： f'(x)?2f(x) （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：f(x)?Ce2x

由原方程知： f（0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2，

B.可化为分离变量方程的类型。

解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。

类型1.1.形式： 形如dy?g(y) （2.2）

dxx的方程，此类方程称为齐次微分方程， 这里g（u）是u的连续函数。

1.解法：作变量变换 u=， （2.3） 即y=ux，从而：

dydu?x?u （2.4） dxdxyx 将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为：

dug(u)?u ?dxx 这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。 例3.求解方程：

dy?(x?y)2 dxdydu??1 dxdx 解：令 u=x+y，则y=u-x，于是： 于是，原方程可化为： 分离变量得：

du?1?u2 dxdu?dx 2u?1 积分之，得：arctanu=x+c 变量回代，既得 方程之通解： arctan（x+y）=x+c 例4求解方程x(lnx?lny)dy?ydx?0. 解：由题意可得：lndy?dx?0，

xyyx 即：dx?dyxylnyxxy （2.5）

令?u，则x?uy，于是： 代入（2.5）得：

dxdu?y?u， dydydulnuy?u??1， dyududy?

u(lnu?1)y 分离变量，并整理得： 两边积分得：? 则有：?（c>0）.

dudy??，令u=et

u(lnu?1)y1dydt??，t?1y从而有：lnt?1?lny?lnc

即：t?1??cy，变量回代得：ln?c1y+1 (c1??c) 类型二：形式：

dyax?b1y?c1?f(1) dxa2x?b2?c2xy解法：1.当c1=c2=0时，

ydyax?b1yx)?g(y)?f(1)?f(ya2x?b2yx转化为齐次方程。 dxa2?b2xa1?b1 2.当

a1b1???时， a2b2dy?(a2x?b2y)?c1?f()?g(a2x?b2y) dxa2x?b2y?c2dudy???c1?a2?b2?a2?b2f() dxdxu?c2 a2x?b2y?u, 则

从而可转化为变量分离方程。

3.当

a1b1?且c1,c2不全为零时， a2b2a1x?b1y?c1?0 解方程组｛a2x?b2y?c2?0，求交点(?,?), 令x=X+α，y?Y??，则原方程化为： 这是齐次方程。

例5.求解方程

dy2x?y?1?. dxx?2y?1dXY??() dYXx??2x?y?1?0 解：｛ 得交点｛1， x?2y?1?0y?3131dY2X?Y3 令｛代入原方程有： ?1dXX?2Yy?Y?3x?X?YdYdu?u，则Y?uX，于是：?X?u， XdXdXdu2?u 从而有：， X?u?dX1?2u1?2udX 整理得：2， du?2u?u?1X 令

d(u2?u?1)dX?2? 两边积分之，得：??2，

u?u?1X 即：ln(u2?u?1)??2lnX?lnc1 （c1>0） 即 ：u2?u?1?c1， X2 变量回代，并整理得：x2?y2?x?y?xy?c （ c1-=c）

例6. 求解方程

dyx?y?5?. dxx?y?213