解：令u?x?y，则 y=x?u，从而： 代入原方程，得：1? 整理得：

dydu?1?， dxdxduu?5?， dxu?27du?， 2?udx 分离变量得：(2?u)du?7dx，

112u?u2?7x?c 两边积分之：22，

变量回代，并整理得：x2?y2?10x?4y?2xy?c

（c是任意常数）

C.线性微分方程和常数变易法 1.形式：形如

dy?p(x)y?Q(x)的一阶方程称为一阶线性方 dx 程.当Q(x)?0时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的. 2. 解法：利用常数变易法求解。 其解为：y?e?p(x)dx?p(x)dx(?Q(x)e?dx?c).下面用具体

的题目体现这一思想.

注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注

dy的系数为1），否则易出错. dxdy 例7 求方程?y?sinx的通解.

dxdy 解：首先求线性齐次方程?y的通解，

dx 标准式（

分离变量得：

dy?dx，两边同时积分， y 得：y?cex，因而可设原方程的通解为： y?c(x)ex，则

dydc(x)x?e?exc(x)， dxdx 将之入原方程，得：

dc(x)dc(x)x?sinxe?x， e?exc(x)?c(x)ex?sinx，即：dxdx 两边积分得：c(x)??sinxe?xdx，而 ?sinxe?xdx???sinxd(e?x) =?sinxe?x??e?xd(sinx) =?sinxe?x??e?xcosxdx =?sinxe?x??cosxd(e?x) =?sinxe?x?cosxe?x??e?xd(cosx) ??e?x(sinx?cosx)??e?xsinxdx

从而：c(x)??e?x(sinx?cosx) （这里没加常 数 ），从而通解为：y??(sinx?cosx). D.伯努利方程及其解法 1.形式：形如

dy?p(x)y?Q(x)yn（n?0,1）的方程称为伯努利方 程. dx12122.解法：在方程两边同时成乘以y?n,做代换z?y1?n，则伯努利方程转化为新的未知函数z的线性方程C中方法解决之.

注意：n>0时，方程还有解y=0.

dyy?6?xy2例8.求方程dx的通解. xdz?(1?n)p(x)z?(1?n)Q(x)，从而可用dx 解：方程两边同乘y?2，得：

y?2dyy?6y?2?xdxx，

即：y?2dy1?6?x （2.12） dxxydzdy??y?2，将之代入（2.12） dxdx 令 z?y?1， 则

得：

dz6??z?x. （2.13） dxxxxc(x) dz??6dx?z?c16, 记（2.13）之通解为：z?16，

xz 于是：

dzdc1(x)?6?x?6c1(x)x?7，将以上两式代入（2.13） dxdxxdc1(x)?x7， dx 得：dc(x)x?6?6c1(x)x?7??6c1(x)x?6?x?dx8x2c?z??x ?c1(x)??c 8x6 ，变量回代得原方程之

81x2c 通解为：??6，此外，方程还有解y=0.

y8x例9.解方程

dy?xy?x3y3. dx 解：这是n=3时的伯努利方程，令z=y1?3?y?2， 则方程可化为：

dz?2xz?2x3，这是一阶线性方程， dx2xdx?2xdx(??2x3e?dx?c)

应用公式得：z?e? =c(ex?x2?1) 这样，方程之通解为：

1x22?ce?x?1， 2y2 另外，方程有解：y=0. E.恰当微分方程与积分因子

1.形式：对于一阶方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0 （2.14） 如果其左端是某一函数u(x,y)的全微分，即

du(x,y)?M(x,y)dx?N(x,y)dy，则称此方程为恰当微分方程.

2.条件：若（2.14）中的M(x,y),N(x,y)在某一单连通区域D有一阶连

续的偏导数，则（2.14）为恰当微风方程 的充要条件为：

?M?N?，(x,y)?D. ?y?x3.解的形式：u?c. 4.解法：a.朴素化简法：由 再由

?u?M，得u(x,y)??M(x,y)dx??(y)， ?x?u?M(x,y)?N，得?(y)?y4N(x,y)??dx??,(y) ?y?y 由上式解得?,(y)，在积分之既得?(y). (当然这种解法具有对称性)

b.分项组合法：通过例题予以说明.（宜熟记课本54页（2.55））

c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无 关求解.（旨在提醒有此法，一般不用） 例10.求(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0的通解.

2223?M?NM?3x?6xy,N?6xy?4y?12xy,?12xy 解：这里，此时：

?y?y 因此为恰当微分方程. a.朴素化简法.

?u?3x2?6xy2 令?x （2.15）

?u?6x2y?4y3 （2.16） ?y 对（2.15）关于x积分，得u?x3?3x2y2??(y) （2.17） 对（2.17）两边关于y求导，并对照（2.16），得： ?u?6x2y?d?(y)?6x2y?4y3，于是

?ydyd?(y)?4y3 dy 积分之，得：?(y)?y4，将?(y)?y4代入（2.17），得：

3224 u?x?3xy?y，从而通解为：x3?3x2y2?y4?c

b.分项组合法.

将上面方程重新组合得：

(3x2dx?4y3dy)?(6xy2dx?6x2ydy)?0，即：

d(x3)?d(y4)?d(3x2y2)?0，亦即：d(x3?y4?3x2y2)?0， 从而通解为:x3?y4?3x2y2?c.（此种方法需要多观察）

?y2?11?x2?例11 求解方程 ???dx???dy?0. 22?x??(x?y)?y(x?y)???y21???1x2?2xy???? 解：因为：??2?3， ?y?(x?y)2x??xy(x?y)(x?y)??? 故此方程为恰当微分方程.分项组合得：

xy11y2dxx2dyd(lny?lnx?)?0， dy?dx?，即 ??022x?yyx(x?y)(x?y) 从而方程之通解为：lnyxy??c. xx?y5. 定义：能使非恰当微分方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0变成恰当微分方程的连续可微函数u（x，y）（u(x,y)?0），称之为该方程的积分因子.即u(x,y)M(x,y)dx?u(x,y)N(x,y)dy?0，满足

?uM?uN?. ?y?x5.积分因子(只与x，y有关)的求解：

?M?N??(x)dx?y?x a.与x有关的积分因子.由， ??(x)得：u?e?N