?M?N??(x)dx b.与y有关的积分因子.由?y?x??(y)得：u?e?.

?M例12.求方程(ex?3y2)dx?2xydy?0的通解.

?(ex?3y2)?(2xy) 解：由于，故此方程不是恰当微 ?6y?2y??y?x 当微分方程。又 u(x)?e?xdx26y?2y2?，故方程有只与x有关的 2xyx?x2.这样，在原方程两边同乘x2得：

(x2ex?3x2y2)dx?2x3ydy?0，分项组合得：

x2exdx?(3x2y2dx?2x3ydy)?0，即：d?ex(x2?2x?2)?x3y2??0， 故通解为：ex(x2?2x?2)?x3y2?c，（c?R） 例13.求解方程ydx?(x?y3)dy?0.

?(y)?(?x?y3)解：由于，故此方程不是恰当微分方 ?1??1??y?x 程.而

1y1?(?1)2??，故方程有积分因子： ?yyu(y)?e??ydy2?11 ，方程两边同乘，得：

y2y2 dx?(x1x?y)dy?0(dx?dy)?ydy?0， ，分项组合得：y2yy2xy2xy2 即：d(?)?0 ，???c,(c?R) .

y2y2 F.一阶隐式微分方程与参数表示.

本节虽然考试会涉及到一些，但分量相对较小.大家可以少花些时间（做好，做懂课后习题即可）.在这里，此稿也就不说及其形式与解法了.

三.一阶微分方程解的存在定理

1.利普希茨条件：对于f(x,y)，如果存在常数L>0，使之在R（R：

(x?x0?a,y?y0?b)）上满足不等式f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，则其关

于y满足利普希茨条件。

2.如果f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件， 则

dy?f(x,y) （3.1）存在唯一解y??(x)，定义域区间x?x0?h上，dx?b?h?mi?an,?连续且满足初值条件y0??(x0)，这里：?M?，

M?maxf(x,y),(x,y)?R.

3.满足初值条件的皮卡的逼近函数序列： ｛

?0(x)?y0,?n(x)?y0??f(?,?n?1(?))d?,x0?x?x0?hx0x

（?n(x)一致收敛，且

为（3.1）的第n次近似解）

MLnn?14.误差估计：?n(x)??(x)?(n?1)!h

5.寻找解的存在唯一性定理的条件所满足的区域，就是寻找f（x，y）连续和满足利普希茨条件的区域，困难在于利普希茨条件的验证.除用定义外，还常用下面的结论：在D上满足利普希茨条件；若希茨条件. 例14.方程

dy?x2?y2定义在区域R：?1?x?1,?1?y?1上，是利用存dx?f在D上存在且有界，则f（x，y）?y?f在D上存在且无界，则不满足李普?y在唯一性定理确定过点（0,0）的解的存在区间，并据此寻找误差不超过0.05的近似解的表达式.

解：由于

?f?2y，在R连续且有界，于是f（x，y）满足利普希茨条?yb11)?min(1,)?，从而解的存在区间M22件.又M?maxf(x,y)?2,h?min(a,11?为x??，由?,?2y?2，故取L=2， ??22?y??1MLn?1n?1M(Lh)n?1?0.5， 则据题意有：?n(x)??(x)?=h?(n?1)!L(n?1)!(n?1)!?f由于当n=3时，

?0(x)?0,1111 ????0.05，故可得出如下近似表达式：

(n?1)!4!2420x3?1(x)?0??(???0(?))d??03

x22x3x7?2(x)?0??(???1(?))d???0363，

x222?10?14?3(x)?0??(???2(?))d???(????)d?0091893969x22x2?6=

x3x72x11x15??? 363207959535另外，教材88页第3题可以做一做. 四.高阶微分方程 大家可以对照课本掌握（*）或了解以下概念. 1.n阶非齐次线性微分方程，n阶其次线性微分方程( P121)，

2.解的存在性唯一定理(P121)，

3.函数线性相（无）关性，函数的朗斯基行列式(P122)， *4.齐次线性微分方程的性质

（1，P121.解的叠加原理；2，p123-124定理三四；3，p125定理

5,6；p126推论）

*5.非齐次线性微分方程的基本性质.

（p127，性质1,2，定理7.至于常数变易法用具体题目体现） *6常系数齐次线性微分方程的特征方程（p137） 7欧拉方程（p142），

*8类型1，类型2的解法（p145）

例15.求解方程x(2)?x?cost.其基本解组为：x1?et,x2?e?t. 解：1，常数变易法：依题意原方程的通解为：

x?c1(t)et?c2(t)e?t， （1）

则

x,?c1(t)et?c2(t)e?t?c1(t)et?c2(t)e?t,, 令c1,(t)et?c2,(t)e?t?0 （2）

则 x,?c1(t)et?c2e?t ，于是x(2)?c1,(t)et?c2,(t)?c1(t)et?c2(t)e?t（3） 将（1），（3）代入原方程有：c1,(t)et?c2,(t)e?t?cost （4） 联立（2）（4）?｛

c,1(t)et?c,2(t)e?t?0c(t)e?c2(t)e?0,1t,?t，

11,c1(t)?e?t(sint?cost)?c1c1(t)?e?tcost,42解的：｛，积分之，得;｛(5) 11c2(t)??(sint?cost)?c2c,2(t)??etcost42将（5）代入（1）得方程的通解为：x?c1et?c2e?t?cost 2.公式法.

方程之特征方程为：?2?1?0??1?1,?2??1，故其对应的齐次线性方程的通解为：x?c1et?c2e?t.

依题意，方程有一特解：x?Acost?Bsint，代入原方程有：

?12???2A?11?2Acost?2Bsint?cost，???2B?0，?x??cost，

?2故原方程的通解为：x?c1et?c2e?t?12cost. 例16.求解方程x(4)?5x(2)?4x?0.

解：方程之特征方程为：?4?5?2?4?0，解之得：

?1?2,?2??2,?3?1,?4??1.故方程之通解为x(t)?c2t?2t1e?c2e?ct3e?c4e?t,ci?R,i?1,2,3,4

例17：求解方程：x(5)?4x(3)?0.

解：由题意：?5?4?3?0，解之得：?1??2??3?0,?4?2,?5??2. 因此，方程之通解为：x(t)?c1?c2t?c3t2?c2t4e?c?2t5e. 例18：求解方程：x(2)?x,?x?0. ?3i?1?3i解：特征方程为：?2???1?0.解之得：?1??12,?2?2. 1故方程之通解为：x(t)?c?11e2tcos3?2t?ce2tsin322t.

例19：求解方程x(3)?4x(2)?5x,?2x?0.

解：特征方程为：?3?4?2?5??2?0.解之得：?1??2?1,?3?2. 故其齐次方程之通解为：x(t)?c1et?ct2te?c3e2t. 知方程有特解形式：X(t)?At?B将之代入原方程有：

5A?2(At?B)?2t?3?A??1,B??4.?X(t)??t?4.

得通解为：x(t)?ctt1et?c2te?c3e2?t?4. 例20：求解方程x(3)?x?cost. 解：特征方程为：?3?1?0??1?1,??1?3i2,3?2. ：