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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2π C．4π D．8π
解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr×2r＝2πr＝2π.
答案：B
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
3πππ
A．π B. C. D.
424
解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
2
3
2
r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
所以r＝3?1?1－??＝. 2?2?
2
2
33π2
所以圆柱的体积为V＝πrh＝π×1＝. 44故选B. 答案：B
3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )
111
A. B. C. D．1 632
111111解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝. 332326答案：A
4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙配套K12内容资料
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角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
116161112
解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πrh＝×
4π3434256320320
×5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)． 999
答案：B
5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π C．18π D．24π
解析：由三视图知，该几何体是两底面半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积
S＝π×(1＋2)×4＝12π.
答案：B 二、填空题
6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．
解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2， 所以其母线长l＝?4－2?＋22＝5，
?2???
2
所以S侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π
7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．
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解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×2×312
－π×2×3＝8π. 3
答案：8π
8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
2
解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋2. （1＋2）
则S侧＝8＋22，S底＝2××1＝3.
2故S表＝S侧＋S底＝11＋22. 答案：11＋22 三、解答题
9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积． 解：设圆柱的底面半径为R，高为h， 当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π， 由2πR＝2π，得R＝1， 所以V圆柱＝πRh＝4π.
当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π， 由2πR＝4π，得R＝2，
所以V圆柱＝πRh＝4π·2π＝8π. 所以圆柱的体积为4π或8π.
10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
2
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