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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2π C．4π D．8π

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr×2r＝2πr＝2π.

答案：B

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

3πππ

A．π B. C. D.

424

解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，

2

3

2

r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．

所以r＝3?1?1－??＝. 2?2?

2

2

33π2

所以圆柱的体积为V＝πrh＝π×1＝. 44故选B. 答案：B

3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )

111

A. B. C. D．1 632

111111解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝. 332326答案：A

4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙配套K12内容资料

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角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

116161112

解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πrh＝×

4π3434256320320

×5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)． 999

答案：B

5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )

A．6π B．12π C．18π D．24π

解析：由三视图知，该几何体是两底面半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积

S＝π×(1＋2)×4＝12π.

答案：B 二、填空题

6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．

解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2， 所以其母线长l＝?4－2?＋22＝5，

?2???

2

所以S侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π

7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．

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解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×2×312

－π×2×3＝8π. 3

答案：8π

8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．

2

解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋2. （1＋2）

则S侧＝8＋22，S底＝2××1＝3.

2故S表＝S侧＋S底＝11＋22. 答案：11＋22 三、解答题

9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积． 解：设圆柱的底面半径为R，高为h， 当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π， 由2πR＝2π，得R＝1， 所以V圆柱＝πRh＝4π.

当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π， 由2πR＝4π，得R＝2，

所以V圆柱＝πRh＝4π·2π＝8π. 所以圆柱的体积为4π或8π.

10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．

2

2

2

2

2

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