学生用书答案精析
专题八 数学思想方法 3
例1 (1)C (2)π
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解析 (1)设f(x)＝e－ln x(0 则f′(x)＝e－＝. xxxxx令f′(x)＝0，得xe－1＝0. 1x根据函数y＝e与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是 xx单调函数，故A，B选项不正确． ee 设g(x)＝(0 xxxx－1 . x2 又0 ∴函数g(x)在(0,1)上是减函数． 又0 xx2. π (2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)， 4π 将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位， 4π 得到y＝2sin(2x＋－2φ)的图象， 4 π 由所得图象关于y轴对称，可知sin(－2φ)＝±1， 4π 即sin(2φ－)＝±1， 4ππ 故2φ－＝kπ＋，k∈Z， 42即φ＝ kπ3π 2＋8 ，k∈Z， 3π 又φ>0，所以φmin＝. 8跟踪演练1 (1)A (2)B 解析 (1)由于f(x) fxf′xx－fxfx)′＝>0恒成立，因此在2 xxx1 ， f2 2 >f1 即f(2)>2f(1)，故答案为A. (2)依函数图象，知y的最大值为2， 所以A＝2. T5πππ又＝－(－)＝， 212122 2π 所以T＝π，又＝π， ω所以ω＝2， 所以y＝2sin(2x＋φ)． ππ 将(－，2)代入可得sin(－＋φ)＝1， 126ππ 故φ－＝＋2kπ，k∈Z， 622π 又－π<φ<π，所以φ＝. 3 2π 所以函数的解析式为y＝2sin(2x＋)，故选B. 3例2 (1)B (2)2 解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点11时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)． 22(2)可行域如图所示． 又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. 由图知，过点A的直线OA的斜率最小． 联立? ?x－y＋1＝0，???y＝2， yx 得A(1,2)， 2－0y所以kOA＝＝2.所以的最小值为2. 1－0x跟踪演练2 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)22 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可， 由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． (2)如图， S11Rt△PAC＝2|PA|·|AC|＝2 |PA|， 当CP⊥l时，|PC|＝|3×1＋4×1＋8| 32＋42 ＝3， ∴此时|PA|2 2 min＝|PC|－|AC|＝22. ∴(S四边形PACB)min ＝2(S△PAC)min＝22. 例3 (1)C (2)2或7 2 解析 (1)由f(f(a))＝2 f(a)得，f(a)≥1. 当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥22 3，∴3≤a<1. 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 综上，a≥2 3，故选C. (2)若∠PF2F1＝90°， 则|PF2 2 2 1|＝|PF2|＋|F1F2|， ∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25， 解得|PF＝144|PF1|7 1|3，|PF2|＝3，∴|PF＝. 2|2若∠F2PF1＝90°， 则|F2 2 2 1F2|＝|PF1|＋|PF2| ＝|PF2 2 1|＋(6－|PF1|)， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴ |PF1| |PF＝2. 2| 综上所述，|PF1|7 |PF＝2或. 2|2跟踪演练3 (1)B (2)D 解析 (1)∵S1 △ABC＝2AB·BC·sin B ＝12×1×2sin B＝122，∴sin B＝2 ， π3π∴B＝或. 44 3π222 当B＝时，根据余弦定理有AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，所以AC＝5， 4此时△ABC为钝角三角形，符合题意； π222 当B＝时，根据余弦定理有AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，所以AC＝1， 4此时AB＋AC＝BC，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝5. (2)在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C5×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C5×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A5种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C5C3×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C5×2种．故共有C5×2＋C5×2＋A5＋C5C3×2＋C5×2＝130(种)，故选D. 例4 (1)D (2)A 解析 (1)1,2是方程ax＋bx＋2＝0的两实根， ??a＝1，b2 1＋2＝－，1×2＝，解得? aa?b＝－3，? 2 2 2 2 21 3 21 3 1 2 2 1 2 2 2 2 由(－3?1)?x＝－3x＋x＋2<0，得3x－x－2>0， 2 解得x<－或x>1. 3 (2)依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max. f(x)＝ln x－x＋－1， 44x1134x－x－3 所以f′(x)＝－－2＝. 2x44x4x由f′(x)>0，解得1 1 所以f(x1)min＝f(1)＝－. 2 函数g(x2)＝－x2＋2bx2－4，x2∈[1,2]． 当b<1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5； 当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b－4； 当b>2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8. 2 2 2 13