第七节 立体几何中的向量方法
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
(对应学生用书第122页)
[基础知识填充]
1．空间位置关系的向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别为n，m 2.异面直线的夹角 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
π
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
2π
当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉． 23．直线与平面的夹角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ，|a·n|
则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
|a||n|
4．二面角
(1)如图7-7-1(1)，AB，CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二→→
面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β n1∥n2?n1＝λn2 n1⊥n2?n1·n2＝0 n⊥m?n·m＝0 n∥m?n＝λm n∥m?n＝λm n⊥m?n·m＝0
图7-7-1
(2)如图7-7-1(2)(3)，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，
则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量
n1与n2的夹角(或其补角)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( ) (3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角．( )
(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角．( ) (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )
?π??π?(6)两异面直线夹角的范围是?0，?，直线与平面夹角的范围是?0，?，二面角的
2?2???
范围是[0，π]．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
2．(教材改编)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5.]
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1,1,1) C．?－
B．(1，－1,1) D．?
33??3
，，－? 33??3
?
?333?，－，－? 333?
C [设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， →??n·AB＝0，
则?
→??n·AC＝0，
?－x＋y＝0，?
化简得?
??－x＋z＝0，
∴x＝y＝z.故选C．]
4．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则
BM与AN夹角的余弦值为( )
12302
A． B． C． D． 105102
C [建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，
M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故BM与AN夹角θ
→→|BM·AN|330
的余弦值cos θ＝＝＝.]
→→106×5|BM|·|AN|
5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．
→→
45° [如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，
P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.
→→?11?→→
∴AD＝(0,1,0)，AE＝?0，，?分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈AD，AE〉＝
?22?45°.
故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.]
第1课时 利用空间向量证明平行与垂直
(对应学生用书第123页)
利用空间向量证明平行问题 (2017·天津高考节选)如图7-7-2，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
图7-7-2
求证：MN∥平面BDE.