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蒙特卡罗方法在期权定价中的应用及R实现
作者：原少斌 廖化敏
来源：《时代金融》2013年第36期
【摘要】期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域。主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。本文就是探讨蒙特卡罗方法在期权定价中的应用。 【关键词】期权定价 蒙特卡罗模拟 R软件 一、前言
期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域。20世纪70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。第一个完整的期权定价模型由布莱克（Fisher Black）和斯科尔斯（Myron Scholes）创立并于1973年公之于世。在基本假设条件下他们推导出了Black-Scholes微分方程及期权定价公式。在此基础上很多学者对基本假设条件逐一进行放宽，提出了许多修正模型：如Hull和White的随机波动率模型，Hoggard、Whalley和Wilmott提出的考虑交易成本的期权组合定价模型，Merton的跳跃扩散模型等。在这些模型中，我们可以得到期权价值所满足的偏微分方程，从而解出精确的期权解析定价公式。但是，在许多情况下要想得到期权价值的解析却是做不到的。这时就需要借助数值算法，蒙特卡罗模拟法就是应用最为广泛的数值算法之一。本文就是探讨该方法在期权定价中的应用。
二、蒙特卡罗模拟的基本思路及其实现 （一）基本思路
期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理，理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）：
1.在风险中性测度下模拟标的资产的价格从初始时刻开始至到期日止的一条随机路径。 2.计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现。 3.重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本。 4.求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值。
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（二）软件实现 1.实现过程
表示资产在期权签约日的价格，表示初始时刻，表示期权到期日，表示持有期，表示时间间隔，将持有期分成个相等的时段，则，表示标的资产在时间的价格，表示经过时间间隔后标的资产的价格。
从资产在期权签约日的价格起，重复利用式（2）次可得资产在期权到期日的一个价格。在的基础上利用可以计算得到期权在到期日的一个价值。这样，重复模拟次可获得个可能的期权价值，最后取。 2.应用实例
本文选取样本股票为泸州老窖（000568），模拟其1个月、3个月和6个月之后的期权价格，首先需要计算股票的月收益率方差，为此选择样本区间为2011年4月1日—2013年5月31日，在软件中将周期选择为月线，我们得到这26个月的收盘价，通过公式：当前周期的收益率=（当前周期的收盘价-上一周期的收盘价）/上个周期的收盘价，计算出收益率，从而得到收益率的方差。各指标值分别如下： 3.模拟结果 （1）欧式期权
通过模拟计算，欧式看涨期权的价格如表1。 通过模拟计算，欧式看跌期权的价格如表2。 （2）美式期权
运用最小二乘蒙特卡罗模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡罗模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡罗模拟方法定价的基本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价
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值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。
通过不断地迭代回归，我们可以得到各个时期的期权价格 三、总结
1.期权定价的蒙特卡罗方法的理论依据是风险中性定价原理，理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡罗模拟方法可以用在那些依赖于标的资产价格变量的期权定价中。
2.运用蒙特卡罗模拟时值得注意的是：通过增加模拟的次数或者缩短标的资产价格运动的时间步长可以提高估计的精度。
3.为了提高蒙特卡罗模拟精度需要进行大量的模拟运算，为了平衡精度和运算量，我们可以通过边际模拟价值来判断是否结束运算。如果边际价值近似为0，这时的模拟次数就作为最佳的蒙特卡罗模拟次数（边际模拟价值=期权价值的变动度/每1000次模拟）。 参考文献
[1]郑振龙.金融工程[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]徐成贤，薛宏刚.金融工程：计算技术与方法[M].北京：科学出版社，2007. [3]薛毅，等.统计建模与R软件[M].北京：清华大学出版社，2007.
作者简介：原少斌，男，山西运城人，兰州商学院统计学院数量经济学专业，研究生；廖化敏，女，重庆江津人，兰州商学院统计学院统计学专业，研究生。 （编辑：刘影）