高考数学专项突破：圆锥曲线专题

目录

一、知识考点讲解 ...................................................................... 2 第一部分 了解基本题型 ...................................................... 2 第二部分 掌握基本知识 ...................................................... 4 第三部分 掌握基本方法 ...................................................... 6 二、知识考点深入透析 ............................................................ 11 三、圆锥曲线之高考链接 ........................................................ 13 四、基础知识专项训练 ............................................................ 16 五、解答题专项训练 ................................................................ 24 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 .................................... 29 附录：基础知识专项训练参考答案 ........................................ 33 附录：解答题专项训练参考答案 ............................................ 35

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一、知识考点讲解

一、圆锥曲线的考查重点：

高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。

二、圆锥曲线试题的特点：

1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。

2、注重数学思想与方法的考查。

3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。

三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线

1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。

2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。

3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容

第一部分 了解基本题型

一、高考中常见的圆锥曲线题型

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1、直线与圆锥曲线结合的题型 （1）求圆锥曲线的轨迹方程：

这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。 （2）求直线方程、斜率、线段长度相关问题：

此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还考查学生的综合处理问题的能力，还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易与向量、数列、三角函数等知识相结合，学生在解题时，可能会因为抓不住解题要领而放弃。 （3）判断直线与圆锥曲线的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。可从代数与几何两个角度考虑，①从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲

x2y2未必。例如：将y?kx?m代入2?2?1中消y后整理得：

ab(b2?a2k2)x2?2a2kmx?a2m2?a2b2?0 ，当k??y?kx?m与双曲线的渐近线平行，当k??b时，该方程为一次方程，此时直线ab时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来a判断直线与双曲线的位置关系。

②从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：

①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决。

②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行。

③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

2、圆与圆锥曲线结合的题型

这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉，并有较强的综合能力。 3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型

这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点。题目中经常涉及两种圆锥曲

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线，对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题，还有这类题目看起来比较复杂，容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我们要克服心理的恐惧，认真分析题意，结合学过的知识来解题。

4、圆锥曲线与向量知识结合的题型

在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合，以旧带新，使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点。

二、常见的一些题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系； 题型二：弦的垂直平分线问题； 题型三：动弦过定点的问题；

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题； 题型五：共线向量问题； 题型六：面积问题；

题型七：弦或弦长为定值问题； 题型八：角度问题； 问题九：四点共线问题；

问题十：范围问题（本质是函数问题）；

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y?kx?m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）。

三、热点问题：

1、定义与轨迹方程问题； 2、交点与中点弦问题； 3、弦长及面积问题； 4、对称问题； 5、最值问题； 6、范围问题； 7、存在性问题；

8、定值、定点、定直线问题。

第二部分 掌握基本知识

1、与一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)相关的知识：（三个“二次”问题）

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（1）判别式：??b2?4ac 。

（2）韦达定理：若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，

bc则 x1?x2??,x1x2? 。

aa（3）求根公式：若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，

则 x1/2?b?b2?4ac 。 ?2a2、与直线相关的知识：

（1）直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率：k?tan?,??[0,?)；

② 点到直线的距离公式：d?Ax0?By0?CA?B22。

（3）弦长公式：直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：

AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]（或AB?1?1。 y1?y2，较少用）2k（4）两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2的位置关系：

① l1?l2?k1k2??1； ② l1//l2?k1?k2且b1?b2。

（5）中点坐标公式：已知两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若点M(x,y)是线段AB的中点，

x1?x2y?y2,y?1。 223、圆锥曲线的重要知识：

考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理科要求有所不同。

文科：掌握椭圆，了解双曲线及抛物线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线。

(1)、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。

(2)、圆锥曲线的标准方程：

则 x?x2y2x2y2222?1(m?0,n?0且m?n)； ①椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0且a?b?c) 或 ?abmn （距离式方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a）

x2y2x2y2222?1(m?n?0)； ②双曲线的标准方程：2?2?1(a?0,b?0且c?a?b) 或 ?abmn5