高考数学专项突破:圆锥曲线专题 下载本文

4、数形结合法:

解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”,令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距;如“x2+y2”,令

x2?y2?d,则d表示点P(x,y)到原点的距离;又如“

y?3y?3”,令=k,则k表示x?2x?2点P(x、y)与点A(-2,3)这两点连线的斜率??

5、参数法:

(1)点参数:利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如x轴上一动点P,常设P(t,0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P(x1,y1)外,也可直接设P(2y,-1,y1)

(2)斜率为参数:当直线过某一定点P(x0,y0)时,常设此直线为y-y0=k(x-x0),即以k为参数,再按命题要求依次列式求解等。

(3)角参数:当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。

6、代入法:

这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件P1,P2求(或求证)目标Q”,方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设,代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。

二、知识考点深入透析

一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析:

年 份 试 题 相 关 知 识 椭圆,抛物线,直线, 2012年 椭圆的标准方程、直线方程。 (20) 问题类型 (1)求椭圆的标准方程; (2)与直线、抛物线相结合,相切知识,求直线方程。 备注 11

轨迹方程,抛物线,求轨迹; 2011年 最值问题; (21) 直线相关知识; 解方程组 曲线:y?nx2即抛物线; 2010年 (21) 切线方程(求导法); 两种距离公式; 分析法证明;裂项求和知识; 椭圆、圆; 2009年 点与圆的位置关系判断; (19) 椭圆、抛物线; 2008年 切线方程(求导法) (20) 向量的数量积(垂直问题) 一元二次方程解的个数(判别式) 圆、椭圆及定义; 2007年 两点间的距离公式; (19) 解方程组;

(1)求轨迹方程(射线及抛物线方程); (2)最值问题(求最小值,及此时点的坐标); (3)参数的取值范围(直线与抛物线结合,求直线斜率的取值范围) (1)求切线方程及特殊点的坐标; (2)最值问题(最大值时,求某点的坐标); (3)证明不等式成立 (1)求方程(椭圆的方程); (2)求三角形的面积; (3)存在性问题(是否存在圆包含椭圆) (1)求方程(椭圆及抛物线的方程); (2)探究性问题(存在点P使得三角形为直角三角形,点P的个数) (1)求方程(圆的方程); (2)存在性问题(存在点与距离相等问题)。 二、圆锥曲线试题研究:

1、曲线类型:以椭圆、抛物线为主,结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。

2、试题特点: (1)综合性; (2)抽象性; (3)动态性;

(4)新颖性; (5)问题的连惯性; (6)含参数。

3、试题中的问题类型:

(1)求方程或轨迹类型:常在第一问中设置,以圆及圆锥曲线的方程为主;

(2)与最值相关的类型:按题意要求,满足最大或最小值时,求某点或某知识;

(3)存在性类型:据题意,判断是否存在点或图形满足题意,要说明理由;

(4)探究性类型:根据题意,探究问题的多样性;

(5)证明类型:根据给定条件,证明不等式或等式成立;

(6)取值范围类型:设置参数,根据题意,求参数的取值范围或求其它的取值范围。

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4、解题常用的知识要点:

(1)各圆锥曲线的知识,特别是椭圆、抛物线的定义;

(2)圆、直线的相关知识,特别是直线的斜率知识;

(3)求曲线轨迹的方法;

(4)与最值相关的两种距离:点到直线的距离及两点间的距离;

(5)一元二次方程(组)及不等式的相关知识:判别式,韦达定理,解方程组,均值定理等;

(6)与导数相关的知识,特别是求切线方程的知识。

5、常用的数学思想: (1)数形结合; (2)分类讨论。

三、圆锥曲线之高考链接

2012文20、(本小题满分14分)

x2y2在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?1,0),

ab且点P(0,1)在C1上.

(1)求椭圆C1的方程;

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2?4x相切,求直线l的方程.

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2011文21、(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中,直线l:x??2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足?MPO??AOP. (1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;

(2)已知T(1,?1).设H是E上动点,求|HO|?|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标; (3)过点T(1,?1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围.

2010文21、(本小题满分14分)

已知曲线Cn:y?nx2,点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点(n?1,2…). (1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标;

(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求试点Pn的坐标

(xn,yn);

(3)设m与k为两个给定的不同的正整数,xn与yn是满足(2)中条件的点Pn的坐标, 证明:?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)

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2009文19、(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆2G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程; (2)求?AkF1F2的面积; (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由。

2008文20、(本小题满分14分)

x2y2设b?0,椭圆方程为2?2?1,抛物线方程为x2?8(y?b).如图6所示,过点

2bbF(0,b?2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.

y F G F1 A 15

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物

O B x 图6