x f(x) -2 -10 -1 -5 1 1 2 11 3 18 求方程f(x)＝0的根的尽可能好的近似值 解：利用函数值表 f(x) x＝f -1(y) 建立差商表
yk －10 －5 1 11 18 得到牛顿插值
f -1(yk) －2 －1 1 2 3 一阶差商 0.2 0.333333 0.1 0.142857 二阶差商 0.012121 －0.014583 0.002521 三阶差商 －0.001272 0.000744 四阶差商 0.000072 -10 -2 -5 -1 1 1 11 2 18 3 N4(y)??2?0.2(y?10)?0.012121(y?10)(y?5)?0.001272(y?10)(y?5)(y?1)? 0.000072(y?10)(y?5)(y?1)(y?11)x?f?1(0)?N4(0)?0.709250
练习2 已知函数表
xi 0 1
yi 8 -7.5
求函数y＝f(x)在[0，2]上零点的近似值
2 -18 解：由于yi是严格单调的，可用反插值求其零点。可先求出插值多项式x??(y)，并令y＝0
yi xi 8 0 -7.5 1 -18 2 x??(y)?x??(0) ? ?0.445(y?y0)(y?y2)(y?x0)(y?y1)(y?y1)(y?y2)x0?x1?x2(y0?y1)(y0?y2)(y1?y0)(y1?y2)(y2?y0)(y2?y1)(0?7.5)(0?18)(0?8)(0?18)(0?8)(0?7.5)?0??1??2(8?7.5)(8?18)(?7.5?8)(?7.5?18)(?18?8)(?18?7.5)例. 给定函数y＝f(x)的函数值表如下，已知该函数是一个多项式，试求其次数及x的最高
幂的系数
x f(x)
解：构造差商表如下
xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 -7 1 -4 2 5 3 26 4 65 5 128 0 1 2 3 4 5 －7 －4 5 26 65 128 3 9 21 39 63 3 6 9 12 1 1 1 0 0 由表知，函数的三阶差商均为1，故多项式的最高次数为3 由牛顿插值公式得
f (x)＝－7＋3（x-0）+3（x-0）(x-1)+（x-0）(x-1) (x-2) ＝x3+2x-7 故 x3的系数为1
例 求一个次数不高于3的多项式P3(x)满足下列插值条件 x f(x) f’(x) 1 2 2 4 3 3 12 解：设P2(x)满足 P2(1)＝2，P2(2)＝4，P2(3)＝12，则有
P2(x)＝3x2-7x+6
为求得P3(x)，根据插值条件知，P3(x)应具有下面的形式 P3(x)＝P2(x)＋k(x-1) (x-2) (x-3)，这样的P3(x)自然满足：
P3(xi)= f (xi)
由P3’(2 )=3
P3’(2 )= P2’(2 )+k[(2-2) (2-3)+ (2-1) (2-3)+ (2-1) (2-2)] = P2’(2 )－k = 3 ∵ P2’(2 ) = 5 ∴k = 2
∴ P3(x)＝P2(x)＋2(x-1) (x-2) (x-3) ＝2x3-9x2+15x-6
作业
1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式 x f(x) f’(x) 0 1 1 2 3 2 9 2. P55 11题
3. 证明方程ex+10x－2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且
－
误差不超过106，试问需要二分区间[0，1]多少次？
4. 设xt＝451.01为准确值，xa＝451.023为xt 的近似值，试求出xa有效数字的位数及相对误差
练习 用牛顿插值法求7的近似值
第二章
例 试构造求积公式
13f(x)dx?Af()?Af()使其代数精度尽可能高，并证明构01?0441造出的求积公式是插值型的。
解：设原式对于f=1，f=x精确，可列方程
A ? A1?1?1?0? 1A?3A?1 ?A0 ? A1?
201??44211113这样构造出的求积公式是?f(x)dx?f()?f()
024241313设x0? , x1? 易知拉格朗日插值基函数分别为l0(x)??2x?，l1(x)?2x?
44221111 l(x)dx?l(x)dx??00?0122故所求积公式是插值型的。
练习：用两种方法计算 试构造形如
?10113f(x)dx?A0f()?A1f()?A2f() 的插值型求积公式，并指明该求
424积公式所具有的代数精度。
解 按题设原式是插值型的，故有
1??3??x???x???122??4?A0???dx?0?11??13?3???????42??44?同样，容易计算出 A21 1??3??x?x?????114??4??A1??dx??0?11??13?3???????24??24??A0?2，于是有求积公式 3?0f(x)dx?2?1?1?1?2?3?f???f???f?? 3?4?3?2?3?4?3原式左右两端相等。此外，容易验证原式对
由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜到它可能有3阶精度。事实上，对于
f(x)?xf(x)?x4不准确，故所构造的求积公式确实有3阶精度。
特例：
①当n=1的牛顿-柯特斯公式为：梯形公式
T?(b?a)?Ck(1)f(xk)k?01
(1)C01??1?(b?a)?f(a)?f(b)?.2?2?1?C1(1)?.2
②当n=2 时 牛顿-柯特斯公式为：辛普森(Simpson)公式
S?(b?a)?Ck(2)f(xk)k?02
(2)C04a?b1?1??(b?a)?f(a)?f()?f(b)?626?6?b?a?a?b??f(a)?4f()?f(b).??6?2?14(2)?C2?;C1(2)?.66 ③当n=4 时 牛顿-柯特斯公式为：柯特斯公式
b?a?7f(x0)?32f(x1)?12f(x2)?32f(x3)?7f(x4)? C?90这里xk =a+kh (k=0,1,…,4), h =(b-a)/4
练习1 用n=6牛顿—柯特斯公式计算定积分n 6 C0(n) 41/840 C1(n) 9/35 C2(n) 9/280 dx?01?x的值(下列数据表作为参考)
1C3(n) 34/105 C4(n) 9/280 C5(n) 9/35 C6(n) 41/840
解：h=(b-a)/n=1/6，xi=0+i/6=i/6
I?(b?a)?cii?0n(n)f(xi)
4196913419191411????????????1125840357280105280358402 1?1?1?1?3236?0.6933?
练习2 分别利用梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式计算积分
?10exdx的值
x解：（1）梯形公式
101?0edx?2[e?e]?1.859 140 91（2）Simpson公式
11x012edx?[e?4e?e]?1.7188612?061（2）柯特斯公式
1131x01424edx?[7e?32e?12e?32e?7e]?1.7182827?0901
练习3 当n＝1，2，3时，分别用牛顿－柯特斯公式计算积分
sinxI??dx的值。
0x1sinx x1sinx11当n＝1时，I??dx?[f(0)?f(1)]?(1?0.8414709)?0.9207354
0x221sinx11当n＝2时，I??dx?[f(0)?4f()?f(1)]?0.9461359
0x621sinx112当n＝3时，I??dx?[f(0)?3f()?3f()?f(1)]?0.9461109
0x833解： 取f(x)?
练习1 试检验下列求积公式的代数精度。 12?1?1f(x)dx?f???解 记
03?4?3因为
??1?2f????2?3?3?f???4?2?1?1?1?2?3?~I(f)??f(x)dxI(f)?f???f???f??03?4?3?2?3?4?1212~I(f)??1dx?1 I(f)??1??1??1?1
03332111231~11I(f)??xdx? I(f)???????
0343234221I(f)??x2dx?0112111291~I(f)???????
3316343163
1I(f)??xdx?0421112271~I(f)???????
364383644131I(f)??xdx?0514
442?1?1?1?2?3?1~I(f)?????????????
3?4?3?2?3?4?54