.

L?p???P?Xi?xi????1?p?i?1i?1nnxi?1xi?np?pn?1?p?? 1?1n?n?lnL?p??nlnp??x?n???i?ln?1?p?

?i?1?dlnL?p?n令??dpp得参数

?xi?1ni?n?0

1X

1?p??p的极大似然估计为：p6．解：假设H0:??500，H1:??500

选择统计量：T?X??S? 统计量的样本值：T由于

10498?5006.510~t?9?

??0.97

T?0.97?t0.01?9??2.82，接受原假设H0。所以在显著性水平??0.02下，可以认

为自动装罐机工作正常。

. . .

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08~09-1学期《概率论与数理统计》试题A参考答案 一、填空题：1、2；2、0.4；3．?21?,??；4、2.6；5、?2(n) 99二、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C 三、解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”(i?1,2)

21P?A??P?B1?P?AB1??P?B2?P?AB2???0.97??0.98?0.973

3313?1?1?1??1?P?X?0,Y?3?????，P?X?1,Y?1??C3?????，

88?2??2??2?32四、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且

P?X?2,Y?1??C231?1??1?3?1??????，P?X?3,Y?3?????.

8?2??2?8?2? Y X 0 1 2 3 23于是，（1）（X，Y）的联合分布为 1 0 3 1 80 0 3 83 80 1 8（2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??1

8五、解：随机变量

X的密度函数为

f?x??设随机变量Y的分布函数为FY FY12?e?x22

????x????

?y??P?Y?y??P?X2?1?y??P?X2?y?1?

①. 如果y?1?0，即y?1，则有FY?y??0；

②. 如果 FY ??y?，则有

?y??P?X2?y?1??P??12?y?1?y?1y?1，则有

x22y?1?X?y?1e?x22?

?e?dx??x2222?y?1?0dx

?2?即FY?y???2???y?1?0edxy?1y?1

0 . . .

.

?1?2?y21e??y?1所以，

fY?y??FY??y???2?2y?1

??0y?1?1即 f???2?y?1e?y?12y?1Y?y?．

??0y?1六、解： ① E(X)????1?x??x2edx?0

D(X)?E(X2)?[E(X)]2

??????x21?x??12edx?0?2?0x22e?xdx?2

②Cov(X,X)?E(XX)?E(X)E(X)??????xx12e?xdx?0?0 所以

X与X不相关.

七、（本题满分10分） 解：（1）由1???????????????f(x,y)dxdy??0?0Ae?(x?2y)dxdy

?A?????10e?xdx?2y0e?dy?2A 所以A?2 （2）X的边缘密度函数：

fX(x)??????f(x,y)dy???x?e x?0

?0,其他Y的边缘密度函数：f???2e?2y y?0Y(y)????f(x,y)dx??

?0,其他（3）因

f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的

八、解：⑴. 当?2?0为未知，而???????为已知参数时，L??2???2??2??n2exp????1n2?2?2??xi????

i?1?因而 lnL??2???n21n2ln?2????2?2??xi???2 i?1所以 ????2?lnL??2???n1n212?2?2??xi????i?1?4?0

解得?2?1n?n?x2i???

i?1因此，?2的极大似然估计量为??2?1n?n?Xi???2． i?1 ⑵. 因为X2i~N??，?? ?i?1，2，?，n?， . . .

似然函数为

.

所以

Xi???Xi????0，D?Xi?????2 ?i?1，2，?，n?，

222，2，?，n? 所以E??Xi??????E?Xi?????D?Xi??????i?1所以 E?~N?0，1? ?i?1，2，?，n?，

?1n???E???Xi???2? 因此，E??ni?1?1n12??E?Xi?????n?2??2 ni?1n1n2????Xi???2是未知参数?2的无偏估计 所以，?ni?122九、解：由于正态总体N??,??中期望?与方差???2??都未知，所以所求置信区间为

??SS??X?nt??n?1?,X?nt??n?1???．

22???由??0.05，n?16，得?0.025．查表，得t0.025?15??2.1315．

2116116?xi?x?2?6.2022 xi?503.75，s?由样本观测值，得x???16i?115i?1s6.2022t??n?1??503.75??2.1315?500.445， 所以， x?n216s6.2022t??n?1??503.75??2.1315?507.055， x?n216因此所求置信区间为?500.445,507.055?

班级： : 号数 第一部分 基本题

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号）（每道选择题选对满分，选错0分）

1. 事件表达式A?B的意思是 ( ) (A) 事件A与事件B同时发生 (B) 事件A发生但事件B不发生 (C) 事件B发生但事件A不发生 (D) 事件A与事件B至少有一件发生

答：选D，根据A?B的定义可知。

2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件A?B( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

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3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 ( ) (A) 自由度为1的2分布 (B) 自由度为2的2分布 (C) 自由度为1的F分布 (D) 自由度为2的F分布

答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的2分布。

4. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(2,1), 则( ) (A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3) 答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=, D(X)=2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是

的无偏估计

(B)

X1?X2?X3是

32的无偏估

计(C) X是

222

的无偏估计

?X?X2?X3?(D) ?1?是

3??2

的无偏

估计

答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(A?B)= __________

答：填0.18, 由乘法公式P(A?B)=P(A)P(B|A)=0.6?0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________

答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是10.216=0.784。

3. 一个袋有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或

5?3?211??0.25。 ，由古典概型计算得所求概率为3C10440?x?1,?x,?4. 已知连续型随机变量X~f(x)??2?x,1?x?2, 则P{X?1.5}=_______

?0,其它.? . . .