.

答：填0.875，因P{X?1.5}??1.50f(x)dx?0.875。

5. 假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=__________ 答：填4.5，因E(X)=5?0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5 6. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________

答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。

三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）

解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) 21115??????0.417323412

四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）

?1,0?x?1,解：已知X的概率密度函数为fX(x)??

0,其它.?Y的分布函数FY(y)为

FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X?因此Y的概率密度函数为

?11y?1??,1?y?3,fY(y)?FY?(y)?fX? ????22?2??其它.?0,y?1y?1?}?FX??? 2?2?五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：

Y 1 1 2 X 1 0.1 0.2 0.3 2 0.2 0.1 0.1 (1) 试求X和Y的边缘分布率 . . .

.

(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数XY(满分10分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：

X 1 2 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表： Y 1 1 2 p 0.3 0.3 0.4 (2) E(X)1?0.6+2?0.4=0.2, E(X2)=1?0.6+4?0.4=2.2, D(X)=E(X2)[E(X)]2=2.20.04=2.16 E(Y)1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E(Y2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2 D(Y)= E(Y2)[E(Y)]2=2.20.64=1.56

E(XY)=(1)?(1)?0.1+(1)?1?0.2+(1)?2?0.3+2?(1)?0.2+2?1?0.1+2?2?0.1=

=0.10.20.60.4+0.2+0.40.5 cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)0.50.160.66

?XY?cov(X,Y)?0.660.66?????0.36

1.836D(X)D(Y)2.16?1.56

六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分) 解：已知样本均值x?1950, 样本标准差s=300, 自由度为151=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出t0.025(14)s2.1448?300??166.1, 因此平均

3.87315使用寿命的置信区间为x?166.1，即(1784, 2116)。

附：标准正态分布函数表?(x)?(x) 0.9 0.95 ?2?1x??e?u22du

0.975 0.99 x

1.281551 1.644853 1.959961 2.326342 t分布表P{t(n)>t n)}=

0.1 0.05 0.025 N . . .

. 14 15 16 1.3450 1.3406 1.3368 1.7613 1.7531 1.7459 2.1448 2.1315 2.1199 第二部分 附加题 附加题1 设总体X的概率密度为

?(??1)x?,0?x?1,f(x;?)??

其它,?0,的

其中>1为未知参数，又设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数

最大似然估计值。（满分15分） 解：似然函数

n?n?L?(??1)??xi? ?i?1??lnL?nln(??1)???lnxin

i?1dlnLn???lnxid?(??1)i?1dlnL?0，解出d?????nn

令

的最大似然估计值为

?lnxi?1n?1

i

附加题2 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分） Y P{X=xi}=pi? y1 y2 y3 X 1 x1 81 x2 81P{Y=yj}=p?j 1 6解：已知X与Y独立，则 pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj), 经简单四则运算，可得

. . .

.

Y X y1 1 241 81 6y2 1 83 81 2y3 1 121 41 3P{X=xi}=pi? 1 43 4x1 x2 P{Y=yj}=p?j

1 . . .