2017年下学期八年级数学上册辅导讲义

第1讲 等腰三角形性质及判定

【学习目标】

1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形的判定定理．

3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝

180???A . 2要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

1

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

4、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF 并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

AEFBDC 2

举一反三：

【变式】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD． (1)求证：BE＝AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．

【巩固练习】

一.选择题

1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )

A．16 B．17 C．16或17 D．10或12

2. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直

角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )

①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE；

③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 如图，D是AB边上的中点，将?ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若?B?50?，则?BDF度数是（ ） A．60° B．70° C．80° D．不确定

6. 如图，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有 （ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．

8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．

9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA

3