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坐标系与参数方程 知识点

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:??x???x?y???y(??0)(??0)的作用

下,点P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射

线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?).

一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, ?)(?∈R).和直角坐标不同,平面

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内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;同时,极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是

(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M 直角坐标(x,y) 极坐标(?,?) ?2?x2?y2互化公式 ??x??cos??y??sin? tan??y x(x?0)在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,??r(0???2?) 半径为r的圆 文案大全 2

实用文档 圆心为(r,0),??2rcos?(??2????2) 半径为r的圆 圆心为(r,),2 ??2rsin?(0????) 半径为r的圆 (1)过极点,倾斜角为?的直线 ???(??R)或?????(??R) (2)???(??0)和?????(??0) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 过点(a,),与2?cos??a(??2????2) ?极轴平行的直线

?sin??a(0????) 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即

(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一

性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程???,点M(,)可以表示为

44???????5???(,?2?)或(,?2?)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程44444444???.

二、参数方程

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