椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去

长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6.

7.

8.

x0xy0yx2y2?2?1. ??1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y2若P则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，

abxxyy方程是02?02?1.

abx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆

ab?2的焦点角形的面积为S?F1PF2?btan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相

应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，

A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，

aabb2x0即KAB??2。

ay0x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2. 12. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2abababx2y2x2y2x0xy0y?2. 13. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2ababab双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x0xy0yx2y2?2?1. ??15. 若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

abxxyy切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，

ab?2则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot.

2x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2x0b2x0KOM?KAB?2，即KAB?2。

ay0ay0x2y2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在双曲线2abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2babx2y2??1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在双曲线

a2b2x2y2x0xy0y?2?2?2. 2abab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

x2y21. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、

abx2y2P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

abx2y22. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C

ab两点，则直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）.

ay0x2y23. 若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,

ab?PF2F1??，则

c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y24. 设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在

ab△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?c??e.

?(sin??sin?)ax2y25. 若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，

ab可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2222227. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.

abx2y28. 已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.

ab4a2b2a2b2111122

???;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是2.

b?a2b?a2|OP|2|OQ|2a2b2x2y29. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直

ab|PF|e?. 平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于

aba2?b2a2?b2点P(x0,0), 则x0?或x0??.

aax2y211. 设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，

ab?2b22则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?bcot.

21?cos?x2y212. 设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,

ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.

|a?ccos2?|