复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
?(?1)n?1?nz1?nzn-1?()??,z?121?z(1?z)
于是有：
?(?1)n?1?n?1?nz??z?(?1)n?nzn?1??nn?1?z(1?z)2z?1
(2) 令：
z2ns(z)??(?1)?(2n)! n?0?n?limn??Cn?11?lim?0.n??(2n?1)(2n?2) Cn故R=∞, 由逐项求导性质
z2n?1s?(z)??(?1)?(2n?1)! n?1?ns??(z)??(?1)n?n?1???z2n?2z2mz2n由此得到??(?1)m+1?(m?n?1)???(?1)n?(2n?2)!m?0(2m)!(2n)!n?0s??(z)??s(z)
即有微分方程s??(z)?s(z)?0
故有：s(z)?Acosz?Bsinz， A, B待定。
z2n由S(0)?A?[?(?1)?]z?0?1?A?1
(2n)!n?0?nz2n?1s?(0)??sinz?Bcosz?[?(?1)?]z?0?0?B?0
(2n?1)!n?1?n所以
z2n(?1)??cosz.R????(2n)!n?0
?n11.设级数?Cn收敛，而?Cn发散，证明?Cnzn的收敛半径为1
n?0n?0n?0???证明：因为级数设
?Cn?0?n收敛
Cn?1Zn?1lim??z.nn??CnZ
若
?Cznn?0?n的收敛半径为1
1z?则
?
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
现用反证法证明
??1
C?limn?1???10???1z?1若则，有n??Cn，即?Cn收敛，与条件矛盾。
n?0若
??1则z?1，从而?Cnz在单位圆上等于?Cn，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。
nn?0n?0??综上述可知，必有
??1，所以
R?1??1
?n12.若?Cznn?0在z0点处发散，证明级数对于所有满足z?z0点z都发散.
?nCzz?z?n10证明：不妨设当时，在z1处收敛
n?0则对?z?z1点z0处收敛
，n?0?Czn?n绝对收敛，则n?0?Czn?n在
所以矛盾,从而?Cznn?0?n在z?z0处发散.
4?zz?0zln(1?e)13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.
1?ez解:因为ln(1?e)?ln(z)e
?z奇点为zk?(2k?1)πi(k?0,?1,...)
所以R?π 又
ln(1?e?z)?zz?0?ln2
e?z[ln(1?e)]???1?e?z?zz?01??
2e?z[ln(1?e)]????(1?e?z)2?e?z?e?2z[ln(1?e)]????(1?e?z)3?zz?0??1 22z?0?0
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[ln(1?e)]?z(4)e?z(1?4e?z?e?2z)?(1?e?z)4z?0??123
于是，有展开式
11214z?z?z?...,R?π22!224!23
1414.用直接法将函数1?z2在z?1?2点处展开为泰勒级数,(到(z?1)项)
1z??i解：为1?z2的奇点，所以收敛半径R?2 ln(1?e?z)?ln2?又
f(z)?11,f(1)?1?z22 ?2z1?,f(1)??(1?z2)22
f?(z)??2?6z21??f??(z)?,f(1)?(1?z2)32 24z?24z3f???(z)?,f???(1)?0 24(1?z)f(4)24?240z2?120z4(4)(z)?,f(1)?0 25(1?z)z?1处的泰勒级数为
于是，f(z)在
11113??(z?1)?(z?1)2?(z?1)4?...,R?221?z2244!
15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.
1z?0和z?1处
(1) 2z?3分别在
3sinz在z?0处 (2)
(3)
arctanz在z?0处
zz?2处
(4) (z?1)(z?2)在
(5) ln(1?z)在解 （1）
11111?2n3?????????(z),z? 2z?33?2z31?2z3n?0323z?0处
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?11111???????2n(z?1)n,z?1? 2z?32z?2?12(z?1)?11?2(z?1)2n?0(?1)n2n?1z3z5?z???... (2) sinz??(2n?1)!z3!5!n?0?3?32n?12n?1nsinz??(?1)?z,z??
4n?0(2n?1)!31dz01?z2(3)
?z??i为奇点，?R?1?arctanz??zarctanz???z?11n2ndz?(?1)zdz?(?1)n??z2n?1,z?1 ??2?01?z02n?1n?0n?0z(4)
111111111????????z?2z(z?1)(z?2)z?1z?2z?2?3z?2?431?41??234
??1z?2n1z?2n??(?1)n?()??(?1)n?()3n?034n?04?11??(?1)n?(n?1?n?1)(z?2)n,z?2?334n?0(5)因为从z??1沿负实轴ln(1?z)不解析 所以,收敛半径为R=1
?1[ln(1?z)]????(?1)n?zn
1?zn?0z??ln(1?z)??
0?(?1)n?0n1?zdz??(?1)n??zn?1,z?1nn?0
n16.为什么区域z?R内解析且在区间(?R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？
答：因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，而在x?R内，f(x)的展开式系数都是实数。所以在z?R内，f(z)的幂级数展开式的系数是实数.
2z?1f(z)?z?0为中心的各个圆环域内的罗朗级数. 17.求z2?z?2的以
z?0为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为： 解:函数f(z)有奇点z1?1与z2??2,有三个以
在z?1内，f(z)??2z?1111?zn=???z?(?1)n()n??2z?z?2z?1z?22n?02n?0
??((?1)n?n?0?1?1)znn?12 34 / 66
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
11?z19.在1?z???内将f(z)?e展开成罗朗级数.
t?解:令
1,则 1?z1213?t??t?... 2!3!f(z)?et?1?t?t?而
11?z???内展开式为
1?z在
1?11111?????(1??2?...) 1?zz1?1zzzz所以,代入可得
1111111f(z)?1??(1??2?...)??(1??2?...)2?...zzz2!zzz
111119?1??2?3???...z2z6z24z4120z520.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果
z?z?z2?z3?... 1?zz11?1??2?... z?1zzzz??0,所以有结果
因为1?zz?1...?11123???1?1?z?z?z?...?0 32zzz你认为正确吗?为什么?
z23?z?z?z?...要求z?1
答:不正确,因为1?zz11?1??2?...要求z?1
而1?zzz所以,在不同区域内 zz111??...?6?2??1?1?z?z2?z3?...?0 1?zz?1zzz1f(z)?cos(z?)用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为
21.证明: z12πCn?cos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,...
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