复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

11cos(z?)cos(z?)z?0z??0?z??证明:因为和是内，z的奇点，所以在z的罗朗级数为

n??1cos(z?)??Cnznzn???

其中Cn?1c2πi?1cos(??)??n?1d?,n?0,?1,?2,...

其中C为0?z??内任一条绕原点的简单曲线. 1cos(z?)1zdz,(z?ei?,0???2π)Cn?n?1??2πiz?1z12πcos(ei??e?i?)i?12πcos(ei??e?i?)?ied??d?2πi?0ei(n?1)?2π?0ein?12π ?cos(ei??e?i?)?(cosn??isinn?)d??2π012π?cos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,...2π?01z?0f(z)?22. 是函数cos(1z)的孤立奇点吗?为什么? 1z?0f(z)?解: 因为的奇点有 1cos(z)1π1?kπ??z?(k?0,?1,?2,...)

πz2kπ?2z?0的任意去心邻域，总包括奇点z?所以在

1π，当

kπ?2k??时，z=0。

z?0不是从而

1cos(1z)的孤立奇点.

33623. 用级数展开法指出函数6sinz?z(z?6)在z?0处零点的级.

解：

f(z)?6sinz3?z3(z6?6)?6sinz3?z9?6z311 ?6(z3?z9?z15?...)?z9?6z33!5!故z=0为f(z)的15级零点

24. 判断z?0是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：

1/z⑴ e； ⑵

1?cosz z2 36 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1z解: 因为

1zz?0是e的孤立奇点

111e?1???...??...z2!z2n!zn

1z是e的本性奇点. 所以

(2)因为

z?01?cosz?z21?1?1214z?z?...1122!4!??z?...

z22!4!z?0是

所以

1?coszz2的可去奇点.

25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：

11sinz⑴ ⑵ 2z ⑶

sinz2z3z(e?1)sinz?解: (1)z3所以

z?1315z?z?...11123!5!???z?... 32zz3!5!z?0是奇点,是二级极点.

解: (2)

z?2kπi(k?0,?1,...)

z?0是奇点,2kπi是一级极点,0是二级极点.

解: (3)

z?0sinz2

z?0?0,?cosz2?2z?0.??4z?sinz?2cosz?2?0的二级零点

222(sinz2)?(sinz)??2z?0z?0

z?0是sinz222sinzsinzz??kπiz??kπ而是是的一级零点, 的一级零点

所以

z?0是

11?kπi,?kπ是sinz2的二级极点, sinz2的一级极点.

1/z226. 判定z??下列各函数的什么奇点？

⑴ e ⑵ cosz?sinz ⑶

2z 3?z2 37 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1z解: (1)当z??时, e?1

21zez??所以, 是的可去奇点.

2

(2)因为

cosz?sinz?1?121411z?z?...?z?z3?z5?...2!4!3!5!

12131415?1?z?z?z?z?z?...2!3!4!5!所以, z??是cosz?sinz的本性奇点.

(3) 当z??时,

2z?0 3?z22z所以, z??是3?z2的可去奇点.

27. 函数f(z)?

1在z?1处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 2z(z?1)1111?????, z?1?1. 2543z(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)我们得到“z?1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?

解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在0?z?1?1内得到的 在0?z?1?1内的罗朗展开式为

111111??????1?(z?1)?(z?1)2?... 222z(z?1)zz?1(z?1)(z?1)z?128.如果C为正向圆周z?3，求积分

??Cf(z)dz的值

z1f(z)?f(z)?(1)(z?1)(z?2) z(z?2) (2)

解：（1）先将展开为罗朗级数，得

1111?[?]2z(z?2)2zz(1?)z

1248?(2?3?4?...),2?z???2zzz而z =3在2?z???内，C?1?0,故

??Cf(z)dz?2πi?C?1?0

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

z(2)(z?1)(z?2)在2?z???内处处解析，罗朗展开式为

z1111?z[?]??(z?1)(z?2)z?1z?21?11?2zz

137??2?3?...,2?z???zzz而z=3在2?z???内，C?1?1,故

??Cf(z)dz?2πi?C?1?2πi

习题五

1. 求下列函数的留数．

ze?1(1)f?z??5在z=0处．

zez?1解：5在0<|z|<+∞的罗朗展开式为

zz2z3z41?z??????1?ez?1?1111111112!3!4!Res,0??1?∴ ???????????55432?z?4!24zz2!z3!z4!z(2)f?z??e解：e11z?1在z=1处．

1z?1在0

ez?1?1?1111111?????????? 23z?12!?z?1?3!?z?1?n!?z?1?n?z1?∴Res?e?1,1??1．

2. 利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留数． 3z?2(1)f?z??2

z?z?2?3z?2解：f?z??2的有限孤立奇点处有z=0，z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点．

??zz?23z?2?3?z?2??3z?24∴Res?f?z?,0??1?lim??lim??1 ???z?2?21!z?0?z?2?z?0413z?2 Res?f?z?,?2??lim2??1

z??2z123. 利用罗朗展开式求函数?z?1??sin在∞处的留数．

z112解：?z?1??sin??z2?2z?1??sin

zz?11111???z2?2z?1?????3??5???5!z?z3!z?1 ∴Res?f?z?,0??1?

3! 39 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1从而Res?f?z?,????1?

3!5. 计算下列积分．

(1)??tanπzdz，n为正整数，c为|z|=n取正向．

c解：??tanπzdz???csinπzdz．

ccosπz为在c内tanπz有 zk?k?1 (k=0,±1,±2?±(n-1))一级极点 2sinπz由于Res??f?z?,zk????cosπz??cz?2k1??

π?1?∴??f?z?,zk???2πi?????2n??4ni ?tanπzdz?2πi??Res?k?π?(2) ??dzc?z?i?10?z?1??z?3?1 c:|z|=2取正向．

在c内有z=1，z=-i两个奇点．

解：因为所以

?z?i?10?z?1??z?3????z?i?cdz10?z?1??z?3??2πi??Res?f?z?,?i??Res?f?z?,1?? ??2πi??Res?f?z?,3??Res?f?z?,?????πi?3?i?106. 计算下列积分． (1)?π0cosm?d?

5?4cos?1πcosm?d?

2??π5?4cos?因被积函数为θ的偶函数，所以I?令I1?1πsinm?d?则有

2??π5?4cos?1πeim?I?iI1??d?

2?π5?4cos?z2?11设z?e d??dz cos??则

iz2zi?1I?iI1??2?z?1zmdz

?1?z2?iz5?4???2z?1zm??dz2i?z?15?2?1?z2?zm1在|z|=1内只有一个简单极点 z?5z?2?1?z2?2被积函数f?z??1??但Res?f?z?,??lim?2?z?1?2zm?5z?2?1?z2???1 m3?2 40 / 66