y?2Rsinsin22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)
(2)
??dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt
dv?R?2sin?t?xdtdvy2?R?cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， ?vx????vy???ax????ay???求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图
(1)在最高点，
v1?vx?v0cos60o an1?g?10m?s?2
又∵
?1
v12(20?cos60?)2?1??an101an1?v21∴ (2)在落地点，
?10m
v2?v0?20m?s?1,
而
an2?g?cos60o
∴
2v2(20)2?2???80man210?cos60?
?21-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4rad?s
?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2 a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
2a?an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v＝
2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时
A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．
v??解：当滑至斜面底时，y?h，则A因此，A对地的速度为
???'vA地?u?vA2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，
???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j
题1-12图
1-13 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
-1
-1
???v?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 解：(1)大船看小艇，则有21
题1-13图
22?1v?v?v?50km?h2112由图可知
??arctan方向北偏西
???v?v1?v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得 (2)小船看大船，则有12v12?50km?h?1
方向南偏东36.87
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但
-1
当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s，求轮船的速率．
解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．
ov13?arctan?36.87?v24
题1-14图
???v?v?v雨船 ∵ 雨船???v?v?v雨雨船船 ∴
由图中比例关系可知
v船?v雨?8m?s?1
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆
柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求m1，m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a?，故m2对地加速度，由图(b)可知，为
a2?a1?a? ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有
m1g?T?m1a1 ②
T?m2g?m2a2 ③ 联立①、②、③式，得
a1?a2?(m1?m2)g?m2a?m1?m2(m1?m2)g?m1a?m1?m2m1m2(2g?a?)m1?m2
f?T?讨论 (1)若a??0，则a1?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若a??2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1, m2均作自由落体运动．
题2-1图
2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
v0运动，v0的方向
?vmgN解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取0方向为X轴，平行斜
面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-2图
X方向： Fx?0 x?v0t ①
Fy?mgsin??mayY方向：
②
t?0时 y?0 vy?0
1y?gsin?t22
由①、②式消去t，得
1y?2gsin??x22v0
2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为-7 N，当t＝0时，x?y?0，x＝-2 m·s，当t＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．
-1
ffx＝6
N，y＝
vvy＝0．求
解：
ax?(1)
fx63??m?s?2m168 fy?7ay??m?s?2m16
于是质点在2s时的速度
35vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168
25?7??v??i?j48(2)
m?s?1
?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的
速度为
v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0e?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
mv0mk?()tv()x＝(k)［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为0k；(4)证明当t?mk时速
1v度减至0的e，式中m为质点的质量．
?kvdva??mdt 答: (1)∵
分离变量，得
dv?kdt?vm vdvt?kdt???0m
即 v0vv?ktln?lnemv0 v?v0e∴
0(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
k?mt
x??vdt??v0e?tk?mtdt?mv0?kt(1?em)k mv0k
故有
x???v0e0k?mtdt?m (4)当t=k时，其速度为
v?v0e1v即速度减至0的e.
km?m?k?v0e?1?v0e
2-5 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m2＝2m1．用细绳连接，跨过滑轮,绳子
1不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a＝2g上升时，求：(1)
m1和m2相对升降机的加速度．(2)在地面上观察m1，m2的加速度各为多少?
解: 分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．
?(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度a2?a?a；因绳不可伸长，
故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a?，由牛顿定律，有
m2g?T?m2(a??a)
T?m1a?
题2-5图
联立，解得a??g方向向下 (2) m2对地加速度为
a2?a??a?g2 方向向上