v?AcosaB0mLt?BsinaB0mLt．
aB0(?AsinaB0mLt?BcosaB0mLt)，
当t = 0时，v = v0，所以A = v0．加速度at = dv/dt?mLaB0当t = 0时，at = 0，所以B = 0．速度方程为v?v0cost．
mL由于v = dx/dt，所以 x?vdt?v0cos??aB0mLttd?v0aBmLsin0t?C． aB0mLaB0mLsint． aB0mLa B 当t = 0时，x = 0，所以C = 0，所以位移方程为x?v0
16．12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半径R = 12cm，dB/dt = 10-2T·s-1．求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少（b为圆心）？设ab = 10cm，bc = 15cm．
[解答]（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为 C = 2πr， 面积为 S = πr2．
取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。
r b R 图16.12
由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于
?BE?dl??根据安培环路定理 ??Lk?S?t?dS，
r c 蜒?ELk?dl??LEkdl?Ek??dl?Ek2?r．
L而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于
???BdBdB2?dS?dS??r． S?tdt?SdtrdB． 2dt因此涡旋电场为 Ek?对于a点，由于r = 0.1m，所以 Ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(V·m-1)． 对于b点，由于r = 0， 所以Ek = 0．
（2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路．根据安培环路定理
??Ek?dl???L左边的积分仍然为Ek2πr．由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为πR2dB/dt，
?B?dS， S?tR2dB因此涡旋电场为 Ek?．
2rdt对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以Ek = (0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(V·m-1）．
16．13 两个共轴的导体圆筒称为电缆，其内、外半径分别为r1和r2，设电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义L = NΦ/I，本题中NΦ是图中阴影部分面积的磁通量）．
[解答]在内外半径之间，磁感应强度的大小为 B = μ0I/2πr， r2 其中r是场点到轴线之间的距离，B的方向是以轴线为中心的同心圆． o r1 在r处取一长为l的面积元dS = ldr，通过面积元的磁通量为 dΦ = BdS，
r2总磁通量为 ???r1?0I?Ilrldr?0ln2， 2?r2?r1I I l 图16.13
电缆的自感系数为 L??I??0lr2ln． 2?r1L?0r2?ln． l2?r1[讨论]电缆单位长度的自感系数为 L0?
16．14 两个共轴圆线圈，半径分别为R和r，匝数分别为N1和N2，两者相距L．设小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似地可视为均匀，求两线圈的互感系数．
[解答]设大线圈中通以电流I1，N1匝线圈形成的环电流在轴在线产生的磁感应强度为
B??0N1I1R22(L2?R2)3/2，
B r 小线圈的面积为 S = πr2，
大线圈通过一匝小线圈的磁通量为 ??BS???0N1I1R2r2223/22(L?R)??0N1N2I1R2r2在小线圈中产生的全磁通为 ?21?N2??，
2(L2?R2)3/2互感系数为 M?，
I1 o R L ?21I1???0N1N2Rr2(L?R)222图16.14
23/2．
2??0N1N2r[讨论]当两线圈相距很远时，L>>R，互感系数约为 M?2R．
16．15 两个共轴的长直螺线管长为L，半径分别为R1和R2，设R2 > R1；匝数分别为N1和N2．求两螺线管的互感系数．
[解答]设大螺线管中通以电流I2，在轴在线产生的磁感应强度为B = μ0n2I2 = μ0N2I2/L． 小螺线管的面积为 S = πR12，
大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为 Φ = BS = πμ0N2I2R12/L， 在小线圈中产生的全磁通为 Φ12 = N1Φ = πμ0N1N2I2R12/L， 互感系数为 M = Φ12/I2 = πμ0N1N2R12/L．
16．16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝．求：
I2 （1）两线圈的互感M； C2
-1
（2）C2线圈中的电流以50A·s的速率减少时，C1中的感应电动势为多少？
C1 [解答](1)设大线圈中通以电流I2，N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为 B = μ0N2I2/2R，
小线圈中的全磁通为 Φ12 = N1BS =μ0N1N2I2S/2R，
图16.16
互感系数为 M = Φ12/I2 = μ0N1N2S/2R= 4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)．
(2) C1中的感应电动势的大小为 ε = MdI2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(V)．
16．17 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sinωt时，求直导线中的感应电动势．
[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为
a B = μ0I/2πr．
在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为
I a?cb ?0Ibdr?0Iba?c， ??BdS??lnc 2?r2?c?S?c互感系数为 M??I??0ba?c． ln2?c图16.17
当线圈中通以交变电流I = I0sinωt时，直导线中的感应电动势大小为
??MdI?0ba?c?(ln)I0?cos?t． dt2?c
16．18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01H，如图所示．求： （1）线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，b和b`之间的自感L为多少？ （2）线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，a和b`之间的自感L为多a a` 少？
[解答]（1）当线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，在b和b`之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场B = 0，所以磁场能量为零，自感L也为零．
b b` （2）当线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，在a和b`之间通以电流
图16.18
I，两个线圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为B = B1 + B2 = 2B1，磁场的能量为
B12B21Wm??dV?4?dV?4L1I2．
2?2?2VV2W自感系数为 L?2m?4L1=0.04(H)．
I
16．19 两个线圈的自感分别为L1和L2，，它们之间的互感为M．将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．
[解答]两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的向量和B = B1 + B2，磁场的能量为
1 2 3 a 4 BBB?BBWm??dV??dV??dV??12dV2?2?2??VVVVBBcos?11?L1I2?L2I2??12dV． 22?V（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ = 0，所以
221221 2 3 4 b 图16.19
11L1I2?L2I2?MI2， 222W自感系数为 L?2m?L1?L2?2M．
IWm?（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ = π，所以
11L1I2?L2I2?MI2， 222W自感系数为 L?2m?L1?L2?2M．
IWm?
16．20 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.0×10-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感L2 = 9×10-3H，通有电流I2 = 4A．求两线圈内储存的总磁能．
[解答]A管储存的自能为
Wm1?11L1I12??4?10?3?22?8?10?3(J)， 22112L2I2??9?10?3?42?72?10?3(J)； 22B管储存的自能为
Wm2?由于两线圈完全耦合，互感系数为
M?L1L2?4?10?3?9?10?3?6?10?3(H)，
A管和B管储存的相互作用能为
Wm12 = MI1I2 = 6×10-3×2×4 = 48×10-3(J)， 两线圈储存的总能量为
Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)．
16．21 一螺绕环中心轴线的周长L = 500mm，横截面为正方形，其边长为b = 15mm，由N = 2500匝的绝缘导线均匀密绕面成，铁芯的相对磁导率μr = 1000，当导线中通有电
o 流I = 2.0A时，求：
（1）环内中心轴在线处的磁能密度； （2）螺绕环的总磁能．
[解答]（1）设螺绕环单位长度上的线圈匝数为 n = N/L，
I 中心的磁感应强度为 B = μnI，其中μ = μrμ0． b 磁场强度为 H = B/μ = nI， 因此中心轴在线能量密度为
b 11112?725002o` w?B?H?BH??(nI)??1000?4??10(?2)
22220.5图16.21 4-3
= 2π×10(J·m)．
（2）螺绕环的总体积约为V = b2L，将磁场当作匀强磁场，总磁能为
W = wV= 2π×104×(0.015)2×0.5=2.25π = 7.07(J)．
16．22 试证：平行板电容器中的位移电流可写成Id?CdU的形式，式中C是电容器的电容，U是dt两板间的电势差．对于其它的电容器上式可以应用吗？
[证明]根据麦克斯韦理论：通过电场任意截面的位移电流强度等于通过该截面电位移通量的时间变化率，即Id = dΦD/dt．
在平行板电容器中，由于ΦD = DS，
而电位移D等于电容器的面电荷密度，即 D = ζ．
因为电容器带电量为q = ζS = DS = ΦD，所以 Id = dq/dt，
即：位移电流等于极板上电量的时间变化率．根据电容的定义C = q/U，可得 Id = CdU/dt．
其它电容器可以看作由很多平等板电容器并联而成，总电容等于各电容之和，所以此式对于其它电容器也可以应用．
16．23 如果要在一个1.0PF的电容器中产生1.0A的位移电流，加上电容器上的电压变化率为多少？ [解答]因为Id = CdU/dt，所以电压变化率为 dU/dt = Id/C = 1/10-12 = 1012(V·s-1)．
16．24 在圆形极板的平行板电容器上，加上频率为50Hz，峰值为2×105V的交变电压，电容器电容C = 2PF，求极板间位移电流的最大值为多少？
[解答]交变电压为 U = Umcos2πνt， 位移电流为Id = CdU/dt = -CUm2πνsin2πνt， 电流最大值为Im = CUm2πν= 2×10-12×2×105×2π×50 = 4π×10-5(A)．
16．25 一平行板电容器的两极板面积为S的圆形金属板，接在交流电源上，板上电荷随时间变化，q = qmsinωt．求：
（1）电容器中的位移电流密度； （2）两极板间磁感应强度的分布．
[解答](1)平行板电容器的面电荷密度为ζ = q/S，位移电流密度为
?d?d?dqqm???cos?t． dtSdtS（2）在安培-麦克斯韦环路定律
??H?dl?I?ILd中，两极板间没有传导电流，即I = 0．
由于轴对称，在两板之间以轴为圆心作一个半径为r的圆，其周长为 C = 2πr，
使磁场的方向与环路的方向相同，左边为
蜒?H?dl??HdlLL?H2r．H ??dl??L环路所包围的面积为S` = πr2，右边的位移电流为 Id??dS`?因此，两极板间磁场强度的分布为 H?磁感应强度的分布为 B??0H?qm?(co?st?r)2． Sqm?rcos?t， 2S?0qm?r2Scos?t．
16．26 如图所示，电荷+q以速度v向O点运动（电荷到O点的距离以x表示）．以O点O圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直．试计算通过此圆面的位移电流．
[解答]在圆面上取一半径为R的环，其面积为dS = 2πRdR，
a
环上任一面元的法线方向与场强方向之间的夹角为φ，场强大小为 E = q/4πε0r2，
其中r = (x2 + R2)1/2，通过环的电通量为
dΦe = E·dS = EdScosφ，
r a 其中cosφ = x/r，所以得
θ qxRdRqxRdR d?e??， q v x O 3223/22?0ra2?0(x?R)积分得电通量为
图16.26
qxd(x2?R2)qx ?e??(1?)． 223/2?222?02?002(x?R)x?a由于电位移强度D和电场强度E的关系为 D = ε0E，
所以电位移通量和电通量之间的关系为 Φd = ε0Φe，
qx(1?)．
222x?av 当电荷q以速度v向O运动时，可认为圆面以dx/dt = -v向电荷运动，
q 此，通过此圆面的位移电流为
d?dId?dt 因此点电荷在圆面上通过的电位移通量为?d?r θ φ r x O R E 因
qa2v?qx2?a2(?v)?x2(?v)/x2?a2． ?[]?223/2222(x?a)2x?a
16．27 在真空中，一平面电磁波的电场为
xm-1)．求：（1）电磁波的波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场Ey?0.3cos[2??107(t?)](V·c的大小和方向．
[解答]（1）电磁波的角频率为ω = 2π×107(rad·s-1)，频率为 ν = ω/2π = 107(Hz)．波长为 λ = cT = c/ν = 3×108/107 = 30(m)．
（2）电磁波的传播方向为x方向．
（3）磁场的方向在z方向，由于所以磁场强度为
?0Ey??0Hz，
?0?0?0111x7Hz?Ey?Ey?Ey?E?cos[2??10(t?)]． y8?7?c?3?10?4??10400?c?000磁感应强度为 Bz??0Hz?1xEy ?10?9cos[2??107(t?)]． cc
16．28 一个长直螺线管，每单位长度有n匝线圈，载有电流i，设i随时间增加，di/dt>0，设螺线管横截面为圆形，求：