第2课时 角度问题与方案设计问题

课时过关·能力提升

1.若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的( )

A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北45°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南45°50'方向上 答案:C 2.渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶,水流速度为4 km/h,则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( ) A.14.5 km/h B.15.6 km/h C.13.5 km/h D.11.3 km/h

解析:由物理学知识,画出示意图如图所示,AB=15,AD=4,∠BAD=120°.

在?ABCD中,∠ADC=60°,DC=AB=15. 在△ADC中,由余弦定理,得

AC=√????2+????2-2????·????cos∠?????? =√16+225-4×15=√181≈13.5(km/h). 故选C. 答案:C 3.有一广告气球,直径为6 m,放在公司大楼上空,行人仰望气球中心的仰角为30°,测得气球的视角为2°,当θ的弧度数很小时,可取近似值sin θ≈θ,则估计气球高度大约为( ) A.70 m B.76 m C.86 m D.118 m 解析:如图所示,C为气球中心,行人位于A处,则∠DAC=1°.

在则

????3

Rt△ADC中,AC==πsin∠??????sin1801270

BC=AC=≈86(m).故选C.

2π

≈

540

(m). π

答案:C 4.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,下午2时两船之间的距离是( ) A.35 n mile B.35√2 n mile C.35√3 n mile D.70 n mile

解析:设轮船A,B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50(n mile),CF=15×2=30(n mile),∠ECF=120°.

由余弦定理,得EF2=CE2+CF2-2CE·CFcos 120°=502+302-2×50×30×(-)=4 900(n mile),

21

∴EF=70 n mile.故选D.

答案:D 5.一段树干被台风吹断,折成与地面成30°角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则树干原来的高度为( ) A.3 m

C.3 m 解析:如图所示,在△ABC中,∠ABC=30°,BC=20 m,

20

B.20√3 m 20√3D.20 m

20√340√3∴AC=3 m,AB=3 m.

20√340√3∴AC+AB=3+3=20√3(m).

答案:B 6.如图所示,

在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一座建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m后,又从点B测得其斜度为45°,假设建筑物高50 m,设山坡对于地平面的斜度为θ,则cos θ= .

解析:在△ABC中,AB=100 m,∠CAB=15°,∠ACB=45°-15°=30°.

由正弦定理,得=, sin30°sin15°∴BC=200sin 15°.

在△DBC中,CD=50 m,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ. 由正弦定理,得

50sin45°100

????

=

200sin15°

, sin(90°+??)∴cos θ=√3-1.

答案:√3-1

7.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的

方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.

解析:在△ABC中,∵∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,∴∠BCA=45°.

∵AB=600,

∴由正弦定理得sin∠??????=sin∠??????,

解得BC=300√2 m.

在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∠DCB=90°,

√3????????

∴CD=BC·tan 30°=300√2×

3

=100√6(m).

答案:100√6

★8.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向,相距20(√3+1)n mile的海面上有一个台风中心,影响半径为20 n mile,正以10√2 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(√3+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.

分析:基地A,接到预报时台风中心的位置B,以及开始影响基地时台风中心的位置C构成一个三角形,画出示意图,利用正弦定理、余弦定理求有关角度进而解决问题.

解: 如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.

由题意得AB=20(√3+1)n mile,DC=20√2 n mile,BC=10√2(√3+1)n mile.

在△ADC

∴∠DAC=90°,∠ADC=45°. 在△ABC中,由余弦定理,得

????2+????2-????2

cos∠BAC=2????·????

中,DC2=AD2+AC2,

∴∠BAC=30°.

∵B位于A的南偏东60°方向,60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.

????? 的方向,即北偏西45°方向. ∵∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量????

故台风的移动方向为北偏西45°方向. ★9.

=2,

√3

如图所示,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=13,cos C=5. (1)求索道AB的长.

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在什么范围内? 解:(1)在△ABC中,因为cos A=13,cos C=5,

所以sin A=,sin C=.

135所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C =

5

4

12

3

12

3

5312463×+×=. 13513565????????

由正弦定理,得sin??=sin??, ????1 2604

所以AB=sin C=63×=1 040(m).

sin??5所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客间的距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,

所以由余弦定理,得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× 13

=200(37t2-70t+50)

352625

=200[37(??-)+]. 3737

1 040

因为0≤t≤130,即0≤t≤8,

35

所以当t=37 min时,乙在缆车上与甲的距离最短.

????????

(3)由正弦定理,得sin??=sin??, ????1 2605

所以BC=sin??sin A=63×13=500(m).

656512

乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.