求下降，但是下降幅度没有替代效应导致对该商品需求增加的幅度大，因此总的效应为正，即消费者对该商品的需求也是增加的，如图3-4所示

图3-4 低档物品的替代效应和收入效应

③对于吉芬物品，商品降价导致的收入效应为负，即收入效应导致消费者对该商品的需求下降，而且下降幅度超过了替代效应导致对该商品需求增加的幅度，因此总的效应为负，即随着商品价格的下降消费者对该商品的需求是减少的，可如图3-5所示。

图3-5 吉芬物品的替代效应和收入效应

13．试用替代效应和收入效应解释“吉芬”矛盾。 答：（1）“吉芬”矛盾是指商品的价格与需求量的变动违反了需求规律，即价格越低购买得越少，价格提高反而购买得更多，商品需求量与其价格成正比关系。这类需求量与价格成同方向变动的特殊商品，被称为吉芬商品。

（2）替代效应是由商品的价格变动引起商品相对价格的变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动；收入效应是由商品的价格变动引起实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量的变动。替代效应不改变消费者的效用水平，而收入效应则表示消费者的效用水平发生了变化。

（3）作为一种特殊的低档商品，吉芬商品的替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动，但是其收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格呈同方向的变动，这样使得吉芬商品的需求曲线向右上方倾斜，即需求量与价格呈同方向变动。

三、计算题

1．假定效用函数为U?q0.5?2M，q为消费的商品量，M为收入。求： （1）需求曲线； （2）反需求曲线；

（3）p?0.05，q?25时的消费者剩余。 解：（1）根据题意可得，商品的边际效用MU??U?0.5q?0.5，单位货币的效用为?q???U?2。 ?M若单位商品售价为p，则单位货币的效用?就是商品的边际效用除以价格，即??0.5q?0.5?U?U/?q1于是得，即2?，进而得需求曲线：q?。 ?p?Mp16p2MU。p（2）由q?11，得反需求曲线为：。 p?16p24q（3）当p?0.05，q?25时，消费者剩余为：

CS??q0?11?dq?pq??q2?pq?4q?2?1p?0.05q?25?1.25

2．明光服装公司生产男式上衣，在1997年中，这家公司出售23000件，平均每件13元，在1998年1月初，明光服装公司的主要竞争者——太和服装公司削减其男式上衣的价格，每件从15元下降到12元，结果使明光服装公司的男式上衣销量急剧下降，在1998年2月和3月，每月销量从以往的23000件降至13000件。

（1）计算在2、3月期间明光公司和太和公司销售男式上衣之间的交叉弹性。这两家公司生产的男式上衣是不是替代品？

（2）假定明光公司的价格弹性系数是2.0，太和公司维持12元的价格，那么明光公司的销售价格要削减多少才能使销售量回升到每月23000件？

解：（1）设明光公司的产品为X，太和公司的产品为Y，则两家公司产品的交叉弹性为：

EXY??13000?23000?15?QXP?Y???2.17?0 ?PQ12?1523000??YX因此，这两家公司生产的男式上衣是替代品。

（2）由需求弹性公式：

P1?P2?23000?13000??Q13?PEd???2????2

?PQ1?Q223000?13000?P?13?2得出：P?9.83（元）。即明光公司的销售价格削减到9.83元才能使销售量回升到每月23000件。

3．某人收入为a元，他对x商品和y商品的效用函数为U?x,y??ln?x1/2?y?，x商品的价格为8元，y商品的价格为5元。

（1）如果某人希望获得最大效用，他会选择消费多少x商品，消费多少y商品？

（2）他的两商品的恩格尔曲线分别是什么？ 解：（1）消费者效用最大化问题为：

maxU?x,y??ln?x1/2?y?s..t 8x?5y?a

构造拉格朗日函数：

L?x,y,???ln?x1/2?y????8x?5y?m?

效用最大化的一阶条件为：

?L1??8??0 ① ?x2x?2yx?L??y1x?y?5??0 ②

?L? m?8x?5y?0 ③ ??解此方程组，可得x?（2）当收入小于品的消费量会保持在

25m5，y??。 2565322525时，消费者会把全部收入用于购买x商品，当收入高于时，x商323225不变，多余的收入全部用于y商品的购买。 25625）； 256因此，x商品的恩格尔曲线为：m?x??8x（0?x?y商品的恩格尔曲线为：m?y??25。 ?5y（y?0）

32注：这个效用函数实际上是拟线形效用函数u?x,y??x?y的一个单调变换。

4．某人对x商品和y商品的效用函数为u?x,y??2x?lny，x商品的价格为p1，y商品的价格为p2。试求：

（1）当某人收入为100元时，他的消费者均衡点在哪里？ （2）某人关于x商品的价格提供线是什么？ （3）某人x商品的需求曲线是什么？ 解：（1）对于最优化问题：

maxu?x,y??2x?lnyx,y

s.. tp1x?p2y?100构造拉格朗日函数如下：

L?x,y,???2x?lny???p1x?p2y?100?

效用最大化的一阶条件为：

?L1???p1?0 ① ?xx?L1???p2?0 ② ?yy?L?100?p1x?p2y?0 ③ ??解此方程组可得：

?400??1?1???p?1?? ④ x?4?400?p1??1?1??p?1?? ⑤ y?2p22（2）由①、②式可知：yx?p1py?p1?2。 p2x将这一结果代入④式，即可得x商品的价格提供线为：

4x?400x400x?2?1?2?0 p2yp2y（3）把④式中的p1作为自变量，则④式就是x商品的需求曲线。

5．王明有效用函数u?x,y,z??Ax?y?z?，0??、?、??1，给定他的收入为I，要求： （1）写出三种商品的需求函数。

（2）这种需求函数有什么特点？ 解：（1）对于最优化问题：

maxu?x,y,z??Ax?y?z?x,y,zs.. tpxx?pyy?pzz?I

拉格朗日函数为：

L?x,y,z,???Ax?y?z????pxx?pyy?pzz?I?

效用最大化的一阶条件为：

?L?A?x??1y?z???px?0 ① ?x?L?A?x?y??1z???py?0 ② ?y?L?A?x?y?z??1??pz?0 ③ ?z?L? I?pxx?pyy?pzz?0 ④ ??分别用②式、③式去除①式，可以得到：y?代入④式，有：

x?px, py,pz,I??p?xpx?x，z?x。

pz?py?I????px?1???????

这就是x商品的柯布—道格拉斯形式的需求函数。

利用效用函数的对称性可以分别写出y和z的需求函数为：

y?px, py,pz,I??I????py?1???????

z?px, py,pz,I??I????pz?1???????

（2）柯布一道格拉斯效用函数导出的需求函数的一个突出特点是，每种商品的需求量仅与自身价格相关，与其他商品价格的变化无关，这并非是由于商品间不存在替代性，而是因为商品间不仅有替代性，还具有一定的互补性。因此，消费者在进行购买决策时，实际上首先是按照每种商品对效用贡献的大小把收入分成三份，这一比例不受商品价格的影响。这一点可从下式中看出：

I??1?????I??1?????I??1?????I

6．直接效用函数的形式为：u?x,y??xayb，0?a?1，0?b?1。试求出：

（1）写出它的间接效用函数。 （2）写出它的支出函数。 解：（1）直接效用函数为柯布—道格拉斯型，利用上题结论可以得出两商品的需求函数：

x?px,I??I?b?px?1???a?I?a?py?1???b?

y?px,I??

代入直接效用函数，有：

??Iv?px, py,I????p?1?b/a????x?a??I ① ??p?1?a/b????y?b此即是该消费者的间接效用函数。

??I（2）在①式中固定效用值，则有：u???p?1?b/a????x?a??I。 ??p?1?a/b????y?b解此方程（求I）可得支出函数为：