三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：

一． 知识点总结 1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;

若O是?ABC的重心，则????????????????1PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心. 3S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3故OA?OB?OC?0;

2）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;

tanB：tanC 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)

若O是?ABC的外心

222：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0

4）O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是

?ABC内心的充要条件可以写成：OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0

O是?ABC内心的充要条件也可以是aOA?bOB?cOC?0 若O是?ABC的内心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c

故 aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0; ?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心;

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分向量?(???|AB||AC|线所在直线)；

二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(A e1e2C B P ABAB?ACAC)，???0,???则P点的轨迹一定通过?ABC的（ ）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为

ABAB????????????是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2，又

OP?OA?AP，则原式可化为AP??(e1?e2)，由菱形的基本性质知AP平分?BAC，那么在?ABC中，AP平分?BAC，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个非零

向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H是△ABC所在平面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC,

同理HC?AB，HA?BC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（D ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.

即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0 则PB?CA,同理PA?BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

变式：若H为△ABC所在平面内一点，且HA?BC?HB?CA?HC?AB 则点H是△ABC的垂心

证明: ?HA?HB?CA?BC

2222222222A ?(HA?HB)?BA?(CA?CB)?BA 得(HA?HB?CA?CB)?BA?0 即(HC?HC)?BA?0

B 图6 H C ?AB?HC

同理AC?HB，BC?HA 故H是△ABC的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G是△ABC所在平面内一点，GA?GB?GC=0?点G是△ABC的重心.

证明 作图如右，图中GB?GC?GE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC?BGCE为平行四边形?D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0，

得GA?EG=0?GA??GE??2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC). 证明 PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC

由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））

3?????????????例6若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（ ）

1BA13OEDCA．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

?????????????????????????解析：由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则

????1????????????????OB?OC?OD，由平行四边形性质知OE?OD，OA?2OE，同理可证其它两边上的这个性质，

2所以是重心，选D。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三

2角形中线的内分点，所分这比为??。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形

1的对角线互相平分及三角形重心性质等相 关知识巧妙结合。

变式：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．则AD?BE?CF?0． 证明：

3?AD??GA?2? 3???BE??GB2?3?CF??GC?2?????????????3?AD?BE?CF??(GA?GB?GC)

2

?GA?GB?GC?0

???????????? ?AD?BE?CF?0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，

????1????????????????则PO?(PA?PB?PC?PD)．

4????1????????????1???????? 证明：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，

22????1???????????????? ?PO?(PA?PB?PC?PD)．

4点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）

????????????????若P与O重合，则上式变OA?OB?OC?OD?0．

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查

????????????例7若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC，则O 是?ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由向量模的定义知O到?ABC的三顶点距离相等。故O 是?ABC 的外心 ，选B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

证明 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=?， 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=?，

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即O是△ABC所在平面内一点， OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?点O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

xx?x2y2xyD（1,0)、E(1,)、F(2,2)

22222y C(x2,y2) x1x1?x2y2（,y3)、H(x2,y4),G(,) 由题设可设Q233?????????xxyF H ?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3) E 222????G BC?(x2?x1,y2) ?????????Q x ?AH?BC?????????A D B(x1,0?AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0

1212x2(x2?x1)y2??????????QF?AC?????????xxy?QF?AC?x2(2?1)?y2(2?y3)?0

222x(x?x1)y2?y3?22?2y22?y4???????x2x?x13x2(x2?x1)y2?QH?(x2?1,y4?y3)?（2,??)

222y22????x?x1x1y22x?x1y2x2(x2?x1)y2?QG?(2?,?y3)?（2,??)323632y222x2?x13x2(x2?x1)y212x?x13x2(x2?x1)y2

,??)?(2,??)66y26322y22?1???? =QH3 ?(?????????即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2

【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向