2.1 平面向量的实际背景及基本概念

2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量

学习目标：1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2.理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3.正确区分向量平行与直线平行．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

→→→

(2)向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量 AB的长度(或称模)，记作|AB|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，→→例如，AB，CD.

思考：(1)向量可以比较大小吗？ (2)有向线段就是向量吗？

[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．

3．向量的有关概念

零向量 单位向量 平行向量 (共线向量) 长度为0的向量，记作0 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作 规定：零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b [基础自测] 相等向量 1

1．思考辨析

(1)零向量没有方向．( )

→→

(2)向量AB的长度和向量BA的模相等．( ) (3)单位向量都平行．( ) (4)零向量与任意向量都平行．( )

[解析] (1)错误．零向量的方向是任意的．(2)正确．(3)错误．单位向量的方向不一定相同或相反，所以不一定平行．(4)正确．

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )

A．1个 C．3个

B [①②③不是向量，④⑤是向量．]

3．如图2-1-1，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．

B．2个 D．4个

图2-1-1

→→→→(1)AD与BC；(2)OB与OD； →→→→(3)AC与BD；(4)AO与OC.

(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知： →→

AD＝BC，OB≠OD AC≠BD，AO＝OC.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

→→→

→→→

向量的有关概念 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

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[思路探究] 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素． [解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定． [规律方法] 1.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 2．共线向量与平行向量．

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度． [跟踪训练] 1．给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c.

②若单位向量的起点相同，则终点相同．

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； →→

④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． ③ [①错误．若b＝0，则①不成立；

②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

→→

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上．]

向量的表示及应用 (1)如图2-1-2，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

图2-1-2

(2)在如图2-1-3所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

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