第五节 三角恒等变换

突破点(一) 三角函数的化简求值

基础联通 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β) C(α＋β) S(α－β) S(α＋β) T(α－β) T(α＋β) 2.二倍角公式 S2α C2α sin 2α＝α；变形： cos 2α＝ 1＋cos 2α1－cos 2α变形：cos2α＝，sin2α＝ 222tan αtan 2α＝ 1－tan2α ；变形： ；变形： T2α

三角函数式的化简 [例1] 已知α∈(0，π)，化简： ?cosα－sinα??1＋sin α＋cos α?·2??2

＝________.

2＋2cos α

三角函数的给角求值

1＋cos 20°1

[例2] 求值：(1)－sin 10°（－tan 5°）；

tan 5°2sin 20°

1

(2)sin 50°(1＋3tan 10°)．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点二]计算：1－cos210°

cos 80°1－cos 20°＝( )

A.

2

2

B.12 C.32

D．－

2

2

2.[考点二](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )

A.3 B．1＋2 C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)

3.[考点一]化简：?sin 2α＋cos 2α－1??sin 2α－cos 2α＋1?sin 4α＝________.

2cos4x－2cos2x＋

1

4.[考点一]化简：2

2tan?π?4－x?＝________.

?sin2?π?4＋x??

突破点(二) 三角函数的条件求值

给值求值问题 [例1] 已知cos?π?6＋α??·cos（π13－α）＝－4，α∈?π?3，π2??. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1

tan α

的值．

给值求角问题 [例2] (1)设α，β为钝角，且sin α＝535，cos β＝－1010，则α＋β的值为(A.3π4 B.5π4 C.7π

4

D.5π7π4或4

2

)

11

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________．

能力练通 1.[考点一]已知sin 2α＝1

3，则cos2??α－π4??＝( ) A.13 B.22

3 C．－3 D．－1

3

2.[考点一]若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010

，则cos β＝( ) A.

22 B.22210 C.2或－10

D.22或210

3.[考点二]若sin 2α＝510π5，sin(β－α)＝10

，且α∈??4，π??，β∈??π，3π2??，则α＋β的值是( A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π9π

4或4

4.[考点二]若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.

5.[考点一]已知α∈?π?2，π??，且sinα2＋cosα2＝6

2. (1)求cos α的值；

(2)若sin(α－β)＝－3

π5，β∈??2，π??，求cos β的值．

跟踪练习1、

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )

3

)