第15讲 圆的基本性质

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到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意：

1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明 2.了解弧的特性及中介作用

3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化

例题求解

【例1】在半径为1的圆O中，弦AB,AC的长分别为3和2，则?BAC度数为_________

（黑龙江省中考题）

思路点拨 作出辅助线，解直角三角形，注意AB,AC有不同的位置关系。

【例2】P是圆O内一点，圆O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，通过P点，长度是整数的弦的条数是（ ）

（江苏省竞赛题）

A5 B7 C10 D12

思路点拨 过点P最长的弦为圆O的直径，最短的弦与OP垂直（为什么），可求得过点

P点的弦长范围。

【例3】如图，已知点A,B,C,D顺次在圆O上，弧AB?弧BD,BM?AC于M，求证AM?DC?CM

（江苏省竞赛题）

思路点拨 用截长（截AM）或补短（延长DC）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图，?o的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE?AB，在弧AB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。 （1）求?COA和?FDM的度数； （2）求证：?FDM~?COM；

（3）如图，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在弧EB上，仍作直线CD、

ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有?FDM~?COM?证明你的结

论。

（苏州市中考题）

思路点拨 （1）在Rt?C利用OG?OG中，

11OA?OC；（2）证明?COM??FDM，22（3）利用图的启示思考。 ?CMO??FMD；

【例5】如图，半径为2的?o中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连接OP，若OP?1，求AB?CD的值。

（黑龙江省竞赛题）

22

【例6】（1）如图，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，?o过点A、D、E三点，求?o的半径。 （2）如图

，若多边形ABDE是组成，C由等腰?ABC和矩形BDECAB?AC?BD?2，?o过点A、D、E三点，问?o的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

分析与解 对于（1），给出不同解法；对于（2），?o的半径不改变，解法类似（1）。 学习训练