【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）根据A、B的坐标求得对称轴为x＝1，设点P的坐标为（l，y）．由PC＝BC根据勾股定理列出12+（y+5）2＝52+52．解得即可；

（3）作PH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求得BC，然后求得直线BC的解析式，进而求得

D

的坐标，然后根据

S

△

PBC

＝S

△

PCD+S

△

PBD

，列出

．求得PH，解正弦函数即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y═x2+bx+c经过点M（3，﹣4），A（﹣3.0），

，

解得：，

∴这条抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣5； （2）∵A（﹣3，0），B（5，0）， ∴这条抛物线的对称轴为直线x＝l． 设点P的坐标为（l，y）．

∵PC＝BC，点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5）． ∴PC2＝BC2． 12+（y+5）2＝52+52． 解得y＝2或y＝﹣12．

∴点P的坐标为（1，2）或（l，﹣12）； （3）作PH⊥BC，垂足为点H．

∵点B（5.0），点C（0，5），点P（1，2），

∴PC＝BC＝5．

设直线BC的解析式为y＝kx﹣5， 代入B（5，0）解得k＝1， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5， 把x＝1代入得，y＝﹣4，

∴直线BC与对称轴相交于点D（1，﹣4）， ∴PD＝6，

∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD， ∴

解得PH＝3∴sin∠PCB＝

．

＝．

．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型．

25．（14分）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8． （1）当P是优弧

的中点时（如图），求弦AP的长；

（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；

（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．

【分析】（1）连接PO并延长交弦AB于点H，由垂径定理得出PH⊥AB，AH＝BH，由勾股定理得出OH＝由勾股定理求出AP即可；

（2）作OG⊥AB于G，先证明△OBG∽△ABM，得出OM＝，由＜，即可的距离；

（3）作OD⊥AB于D，由勾股定理求出OD＝

＝3，证出BN＝OB＝5，得出＝

，求出BM＝

，得出

＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝8，

DN的长，再由勾股定理求出ON，然后由相切两圆的性质即可得出圆N的半径． 【解答】解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示： ∵P是优弧

的中点，PH经过圆心O，

∴PH⊥AB，AH＝BH，

在△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝AB＝4，AO＝5， ∴OH＝

＝

＝3，

在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8， ∴AP＝

＝

＝4

；

（2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；理由如下：作OG⊥AB于G，如图2所示： ∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB， ∴△OBG∽△ABM， ∴

＝

，即

，

＝，

解得：BM＝∴OM＝

﹣5＝，

∵＜，

∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交； （3）作OD⊥AB于D，如图3所示： ∵OA＝OB＝5， ∴AD＝DB＝AB＝4， ∴OD＝

＝

＝3，

∵∠BNO＝∠BON， ∴BN＝OB＝5， ∴DN＝DB+BN＝9，

在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON＝∵圆N与圆O相切， ∴圆N半径＝3

﹣5．

＝

＝3

，

【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性

质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系、相切两圆的性质是解题的关键．