高中数学苏教版必修5第2章《2.2.3 等差数列的前n项和》

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1教学目标

1.掌握等差数列前n项和公式及其推导方法. 2.会用等差数列前n项和公式解决一些简单的问题.

2学情分析

本节内容是苏教版必修5第二章2.2.3节内容,前面学生已经学习了等差数列的通项公式,学习了等差数列的简单性质,对高斯算法有了了解,本节尝试从学生熟悉的问题情境引入,意在激发学生学习新知的兴趣,降低难度.

3重点难点

掌握等差数列前n项和公式及其推导方法.

4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】 【预学案】 一、知识体系梳理

问题1:(1)等差数列前n项和公式 或 .

(2)等差数列前n项和公式的推导方法: .设等差数列{an}的前n项为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,则Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,将和式倒序写为Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1,两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an),∴Sn= . 将通项an=a1+(n-1)d代入可得Sn= .

问题2:(1)等差数列前n项和公式Sn= 和 Sn= 及通项公式an=a1+(n-1)d中含有五个量 、 、 、 、 ,在具体解题时,通过解方程组做到“ ”.

(2)等差数列前n项和公式的特点是Sn= ,即等差数列前n项和公式是关于n的没有常数项的二次函数.其图象是过原点的抛物线上一些孤立的点. 问题3:如何求等差数列前n项和的最值?

(1)用等差数列的单调性求前n项和的最值.

①d>0?{an}为递增数列,若a1≥0,则 最小;若a1<0,则当n满足 时的Sn最 . ②d<0?{an}为递减数列,若a1≤0,则 最大;若a1>0,则当n满足 时的Sn最 . (2)利用函数的知识求等差数列前n项和的最值:

等差数列前n项和Sn=An2+Bn,通过配方得 ,可利用二次函数的性质求最值,但应特别注意n∈N*,所以当n为最接近 的正整数时,Sn取得最值.

问题4:已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1= ; (2)当n≥2时,an= ;

(3)如果当n=1时,a1符合(2)中算出的an,那么数列{an}的通项公式为an(n∈N*),反之, 则an= . 二、基础学习交流

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S101=0,则下列说法正确的是 . ①a1+a101>0;②a1+a101<0;③a1+a101=0;④a1+a101的符号不确定. 2.若等差数列{an}的前3项和S3=9,则a2= .

3.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差d= .

4.一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,求它的第7项a7. 【探究案】

研究一:等差数列求和公式的应用

设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,且S10=S11. (1)求首项a1; (2)求前n项和Sn.

探究二:根据数列求和公式求数列通项公式

已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n+2,求这个数列的通项公式.

探究三:求等差数列和的最大项

在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,则数列的前多少项和最大?

应用一

在等差数列{an}中,a4=10,a10=-2,若Sm=60,求m的值. 应用二

设数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,问这个数列成等差数列吗? 应用三

已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的项数n为 .

【检测案】

1.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项的和,则有 . ①S4

2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1= ,S4=20,则S6= .

3.设数列{an}的前n项和为Sn=n2-4n+1,则an= .

4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n,bn= (n=1,2,3,…),求证:数列{bn}是等差数列.