第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初一组）

（时间：2016年3月12日 10:00--11:30）

一、

填空题（每小题10分，共80分）

1． 已知n个数x1，x2，??xn，每个数只能取0,1，-1中的一个，若x1＋x2＋?＋xn＝2016，则x12015＋x22015＋?＋xn2015的值为__________。

2． 某停车场白天和夜晚两个不同时段的停车费用的单价不同，张明2月份白天

的停车时间比夜间要多40%，3月份白天的停车时间比夜间要少40%。若3月份的总停车时间比2月份多20%，但停车费用却少了20%，那么该停车场白天时段与夜间时段停车费用的单价之比是__________。 3． 在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点，如右图。 三角形ABC的三个顶点都是格点，若一个格点P使得三角形 PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”。那么， 在这张格子纸上共有__________个“好点”。

4． 设正整数x，y满足xy―9x―9y＝20，则x＋y＝________。

5． 甲、乙两队修建一条水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分

2

2

之二，两队所用的天数为A；甲先完成工程的三分之二，乙后完工程的三分之一，两队所用天数为B；甲、乙两队同时工作完成的天数为C。已知A比B多5，A是C的2倍多4，那么甲单独完成此项工程需要__________天。 111222

6． 已知x＋y＋z＝5， ＋ ＋ ＝5，xyz＝1，则x＋y＋z＝__________。

xyz

7． 关于x，y的方程组：

只有唯一的一组解，那么a的取值为__________。

8． 右图是一个骰子的展开图，每个面是一个单位正方形，用

四个骰子粘成一个2×2×1的长方体放到桌面上，要求每 两个粘在一起的面上的“点数”相同。长方体放到桌面上 的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面，两个

长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同，不考虑长方体的旋转，共

可以粘出__________种不同的长方体。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9． 在恰有三条边相等的四边形中，有两条等长的边所夹的内角为直角。若从该

直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形，求该直角所对的角的度数。

10．

围着一张可以转动的圆桌，均匀地放着8把椅子，在桌子上对着椅子放

有8个人的名片。这8个人入座后，将圆桌顺时针转动，第一次转45°，从第二次开始，每次转动比上一次多转45°。每转动一次，当某人对着自己的名片时，取走自己的名片，如果入座时谁都没有对着自己的名片，那么桌子至少转多少度才能保证所有入座可能的情况下8个人都拿到了自己的名片？

11． 两张8×12的长方形纸片重叠地放置，有一个顶点重

合，尺寸如右图所示，问图中阴影部分的面积是多少？

321

12． 证明：对任何非零自然数N，N+ N+ N－1都是整数，并且用3除余2。

22

3

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13． 如右图，ABCD是正方形，F是其两条对角线的交点，

E在BC边上，BE：EC＝1:2，DE与对角线AC的交点为 G，三角形DFG的面积等于2。求正方形ABCD的面积。

14． 排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报2。从右到左1至

M报数，最后一个人报1。这里M与3互质。现凡报过1的学生出列，其余原地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻。问原来有多少名学生？M的值是多少？