2018中考数学《二次函数的综合问题》(蔡老师讲练) 下载本文

苏州市2018学年初三中考周周练

∴x=∴DM=m﹣

,∴D的坐标为(

=

×3=

,﹣m2+2m+3),

,∴S=DM?BE+DM?OE=DM(BE+OE)

=

(m﹣)2+

=DM?OB=×

∵0<m<3,∴当m=时,S有最大值,最大值为(3)①由(2)可知:M′的坐标为(,);

②过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,

根据题意知:d1+d2=BF,此时只要求出BF的最大值即可, ∵∠BFM′=90°,∴点F在以BM′为直径的圆上, 设直线AM′与该圆相交于点H, ∵点C在线段BM′上,∴F在优弧上,∴当F与M′重合时, BF可取得最大值,此时BM′⊥l1, ∵A(1,0),B(0,3),M′(∴由勾股定理可求得:AB=

,), ,M′B=

,M′A=

过点M′作M′G⊥AB于点G,设BG=x,

∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2, ∴

﹣(

﹣x)2=

﹣x2,∴x=

,cos∠M′BG=

=

∵l1∥l′,∴∠BCA=90°,∠BAC=45°

5.解:(1)∵CD∥x轴,CD=2,∴抛物线对称轴为x=1.∴

∵OB=OC,C(0,c),∴B点的坐标为(﹣c,0), ∴0=c2+2c+c,解得c=﹣3或c=0(舍去),∴c=﹣3; (2)设点F的坐标为(0,m).∵对称轴为直线x=1, ∴点F关于直线l的对称点F的坐标为(2,m).

由(1)可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴E(1,﹣4),

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∵直线BE经过点B(3,0),E(1,﹣4),

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6.

∵点F在BE上,∴m=2×2﹣6=﹣2,即点F的坐标为(0,﹣2); (3)存在点Q满足题意.设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3﹣n,PN=﹣n2+2n+3.

作QR⊥PN,垂足为R,

∵S△PQN=S△APM,∴

,∴QR=1.

①点Q在直线PN的左侧时,Q点的坐标为(n﹣1,n2﹣4n),R点的坐标为(n,n2﹣4n),N点的坐标为(n,n2﹣2n﹣3).∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n﹣3)2, ∴

时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为

②点Q在直线PN的右侧时,Q点的坐标为(n+1,n2﹣4).同理,NQ2=1+(2n﹣1)2, ∴

时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为

综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为

【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得抛物线的对称轴是解题的关键,在(2)中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键,在(3)中求得QR的长,用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,难度很大.

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