苏州市2018学年初三中考周周练

∴x=∴DM=m﹣

，∴D的坐标为（

=

×3=

，﹣m2+2m+3），

，∴S=DM?BE+DM?OE=DM（BE+OE）

=

（m﹣）2+

；

=DM?OB=×

∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可， ∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H， ∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时， BF可取得最大值，此时BM′⊥l1， ∵A（1，0），B（0，3），M′（∴由勾股定理可求得：AB=

，）， ，M′B=

，M′A=

，

过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2， ∴

﹣（

﹣x）2=

﹣x2，∴x=

，cos∠M′BG=

=

，

∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°

5．解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1．∴

∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0）， ∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3； （2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x=1， ∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．

由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），

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．

苏州市2018学年初三中考周周练

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．

∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点Q满足题意．设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN=S△APM，∴

，∴QR=1．

①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2， ∴

时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为

；

②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．同理，NQ2=1+（2n﹣1）2， ∴

时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为

或

．

．

综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．

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