∵∠ADC+∠ECD+∠CEP+∠EPD＝360° ∴∠EPD＝90° ∴BE⊥AD

（2）∵△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴CD＝CE＝5，AC＝BC＝12，∠BCA＝∠ECD＝90° ∴△BEC≌△ADC（SAS）， BE＝

＝13，AE＝AC﹣CE＝7

∴∠CAD＝∠CBP，且∠BEC＝∠AEP ∴△BEC∽△AEP ∴∴∴AP＝

（3）由（1）可知，∠APB＝90° ∴点P在以AB为直径的圆上， ∵AC＝BC＝12，∠ACB＝90° ∴AB＝12

∴S△PAB＝AB×（点P到AB的距离），且点P到AB的最大距离为AB， ∴S最大值＝AB×AB＝72 如图，当BP与圆相切时有最小值，

AP＝AD﹣PD＝

﹣5＝﹣5

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BP＝BE+EP＝+5

∴S最小值＝AP×BP＝47

27．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2． （2）当x＝0时，y＝﹣﹣x2+x+2＝2， ∴点C的坐标为（0，2）． ∵点B的坐标为（4，0）， ∴BC＝

＝2

．

设点E的坐标为（m，0），分两种情况考虑（如图3所示）： ①当BE＝BC时，m﹣4＝2∴m＝4+2

，

，0）；

，

∴点E的坐标为（4+2

②当CE＝BE时，m2+22＝（4﹣m）2， 解得：m＝，

∴点E的坐标为（，0）． （3）分两种情况考虑：

①当∠DCM＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图4所示． ∵OC＝OF，OB⊥CF， ∴∠ABC＝∠ABF， ∴∠CBF＝2∠ABC． ∵∠DCB＝2∠ABC， ∴∠DCB＝∠CBF， ∴CD∥BF．

∵点B（4，0），F（0，﹣2）， ∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，

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∴直线CD的解析式为y＝x+2．

联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：（舍去），，

∴点D的坐标为（2，3）；

②当∠CDM＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图5所示．

设直线CN的解析式为y＝kx+c（k≠0）， ∵直线BF的解析式为y＝x﹣2，CN⊥BF， ∴k＝﹣2．

又∵点C（0，2）在直线CN上， ∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2． 连接直线BF及直线CN成方程组，得：

，

解得：，

∴点N的坐标为（，﹣）． ∵点B（4，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2． ∵NP⊥BC，且点N（，﹣）， ∴直线NP的解析式为y＝2x﹣

．

联立直线BC及直线NP成方程组，得：，

解得：，

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∴点Q的坐标为（，）．

∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称， ∴点P的坐标为（∵点C（0，2），P（

，，

）． ）， x+2．

∴直线CP的解析式为y＝将y＝

x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，

，

解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点D的横坐标为

．

综上所述：存在点D，使得△CDM的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．

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