数列通项公式方法总结

不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。 一、已知数列的前几项

已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。 例1、求数列的通项公式

（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5…… （2）9，99，999，……

分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。 （2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。 此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。 二、已知数列的前n项和Sn

已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2） 例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n+3，求an 分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an Sn——1＝a1+a2 +……+an——1 上两式相减得 Sn -Sn——1=an 解：当n=1时，a1=S1=5

当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1 ∵n=1不适合上式

∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2） 三、已知an与Sn关系

已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。

（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。

例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。 分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。

（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。

例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+） 求数列{an}的通项公式。

分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。

解：由an+1=2Sn+1 得an=2Sn-1+1（n≥2） 两式相减，得an+1-an=2an ∴an+1=3an （n≥2） ∵a2=2Sn+1=3 ∴a2=3a1

∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列 ∴an=3n-1

（3）an+1=an+f（n），用叠加法 思路：令n=1，2，3，……，n-1 得a2=a1+f（1） a3=a2+f（2） a4=a3+f（3） ……

+）an=an——1+f（n-1）

an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1） 例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n 则{an}的通项公式=（ ）