随机过程综合练习题

一、填空题（每空3分） 第一章

1．X1,X2,?Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为g(t)，则

X1?X2???Xn的特征函数是 。

2．EE(XY)? 。

3． X的特征函数为g(t)，Y?aX?b，则Y的特征函数为 。 4．条件期望E(XY)是 的函数， （是or不是）随机变量。 5．X1,X2,?Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为gi(t)，则

??X1?X2???Xn的特征函数是 。

6．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。

第二章

7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为p(0?p?1)，以X(n)记进行到n次试验为止A发生的次数， 则{X(n),n?0,1,2,?}是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数CX(s,t)? 。

第三章

11． {X(t), t≥0}为具有参数??0的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为?1，?2，?3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。

13．{X(t), t≥0}为具有参数??0的齐次泊松过程，

P?X(t?s)?X(s)?n?? 。n?0,1,?

14．设{X(t), t≥0}是具有参数??0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望是 。

15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。

16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or非齐次）泊松过程．

17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是 ．

第四章

18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。

20．设有独立重复试验序列{Xn,n?1}。以Xn?1记第n次试验时事件A发生，且

P{Xn?1}?p，以Xn?0记第n次试验时事件A不发生，且P{Xn?0}?1?p，若有

Yn??Xk,n?1，则{Yn,n?1}是 链。

k?1n答案 一、填空题

1．g(t)； 2．EX； 3．enibtg(at) 4．Y;是 5．?gi(t)； 6．等价

i?1n7．时间差； 8．独立增量过程；

9．E?X(t2)?X(t1)??X(t4)?X(t3)??0 10．?X(min{s,t})

2????1e??1t11．?t;?t； 12．f(t)???0?(?1??2??3)e?(?1??2??3)tt?0 f(t)??t?00?t?0t?0

(?t)n??tn71e 14． 15．240000 16．复合； 17．e?4 13．

?3n!18．2； 19．遍历状态； 20．齐次马尔科夫链；

二、判断题（每题2分） 第一章

1．gi(t)(i?1,2,?n)是特征函数，

?ngi(t)不是特征函数。

（ ） i?12．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（ ） 3．任意随机变量均存在特征函数。（ ） n4．gi(t)(i?1,2,?n)是特征函数，

?gi(t)是特征函数。

（ ） i?15．设?X1,X2,X3,X4?是零均值的四维高斯分布随机变量，则有

E(X1X2X3X4)?E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3)（第二章

6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（ ） 7．独立增量过程是马尔科夫过程。（ ） 8．维纳过程是平稳独立增量过程。（ ）

第三章

9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（ ）

第四章

10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（ ）

11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（ ）

12．有限马尔科夫链，若有状态k使limp(n)n??ik?0，则状态k即为正常返的。（ 13．设i?S，若存在正整数n，使得p(n)(n?1)ii?0,pii?0,则i非周期。

（ ）14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（ ） 15．i是正常返周期的充要条件是limp(n)n??ii不存在。（ ）

16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（ ） 17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（ ） 18．i是正常返周期的充要条件是limp(n)n??ii存在。（ ）

）

） 19．若i?j，则有di?dj（ ）

20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（ ）

答案 二、判断题

1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√ 6．√ 7．√ 8．√ 9．×

10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√ 16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√

三、大题 第一章

1．（10分）—（易）设X~B(n,p)，求X的特征函数，并利用其求EX。 2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，

?cos?t,出现正面X(t)?????t???

出现反面?2t,出现正面和反面的概率相等，求X(t)的一维分布函数F(x,1/2)和F(x,1)，X(t)的二维分布函数F(x1,x2;1/2,1)。

3．（10分）—（易）设有随机过程X(t)?A?Bt,t?0，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求X(t)的一维和二维分布。

第二章

4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b，t∈(0,+∞), b为常数，V服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。

5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数B x(t1, t2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。

6．（10分）—（中）设{X(t),t?T}是实正交增量过程，T?[0,?),X(0)?0,?是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一t?0,X(t)都与?相互独立，求

Y(t)?X(t)??,t?[0,?)的协方差函数。

7．（10分）—（中）设{Z(t)?X?Yt,???t???}，若已知二维随机变量(X,Y)的协

??12方差矩阵为?????，求Z(t)的协方差函数。 2??2?8．（10分）—（难）设有随机过程{X(t),t?T}和常数a，试以X(t)的相关函数表示随机过程Y(t)?X(t?a)?X(t),t?T的相关函数。

第三章

9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少?

10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为?的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。 11．（15分）—（难）设X1(t) 和X2 (t) 是分别具有参数?1和?2的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数?1??2的泊松过程。

12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即

??2。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一

户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。

13．（10分）—（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt(k)??kk!e??,k?0,1,2,?，

其中??0为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率P2t(n)

14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min

15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W≥2}．

16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min内没有车辆通过的概率为0.2，求2min内有多于一辆车通过的概率。