17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min
18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在[0，t]内得到的总手续费，求EX(t)与var X(t)
19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求 (1) 在5 min内到达顾客数的平均值；(2) 在5min内到达顾客数的方差；(3) 在5min内至少有一个顾客到达的概率． 20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率．
21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t) (t≥0)是强度分别为?X和?Y的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k个事件发生的概率为
??Xp??????Y?X???Y???????X??Y???。 ?k第四章
22．（10分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为
?0.50.50??
P??00.50.5????0.500.5??求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为
P{X0?1}?P{X0?2}?0,P{X0?3}?1
时，经三步转移后处于状态3的概率。
23．（15分）—（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数，则{X(n)，n≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X(n)，n≥0}是遍历链；（3）求
limPij(n),j?0,1,2。
n??24．（10分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：
?0.80.10.1??
PT(0)?(0.4,0.2,0.4) P??0.10.70.2????0.20.20.6??求下一、二个月的销售状态分布。
25．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间I＝{1，2，…，7}，转移概率矩阵为
?0.40.20.10?0.10.20.20.2??000.60.4?P??000.40?000.20.5?000?0?0000?求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
0.10.10.1?0.10.10.1??000??0.600? 0.300??00.30.7?00.80.2??26．（15分）—（难）设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3，4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为
?0.5?0.2P???0.1??0(3)河流再次达到污染的平均时间?4。
0.40.50.20.20.10?0.20.1?? 0.60.1??0.40.4?若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；
27．（10分）—（易）设马尔可夫链的状态空间I＝{0，1，2，3}，转移概率矩阵为
0??1/21/20?1/21/20?0? P???1/41/41/41/4???0001??求状态空间的分解。
28．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间为I＝{1，2，3，4}．转移概率矩阵为
0?1?01P???1/32/3??1/41/4讨论limpi1
n??(n)00?00?? 00??01/2?29．（10分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为
?1/21/20??
P??1/201/2????01/21/2??求其平稳分布。
30．（15分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且p+q+r=1．设每局比赛胜者记1分，负者记一1分．和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束．以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则{Xn,n?1}是齐次马尔可夫链．
（1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵； （3） 求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率．
31．（10分）—（中）(天气预报问题) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为?，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l。因此问题是两个状态的马尔可夫链．设
??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率．
32．（10分）—（中）设{Xn,n?1}是一个马尔可夫链，其状态空间I={a，b，c}，转移概率矩阵为
?1/21/41/4??
P??2/301/3????3/52/50??求（1）P{X1?b,X2?c,X3?a,X4?c,X5?a,X6?c,X7?b|X0?c} （2）P{Xn?2?c|Xn?b}
33．（15分）—（难）设马尔可夫链{Xn,n?0}的状态空间I＝{1，2，…，6}，转移概率矩阵为
0?0?00??00P???1/31/3?10??01/2?试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
10000001/3000000?01??10??
00?00??01/2??答案 三、大题
1． 解：引入随机变量Xi~??q?i?01?? i?1,2?n ………………………………（1分）?p??i(t)?EeitX?eit?0q?eit?1p?peit?q …………………………（3分）
X??Xi~B(n,p) …………………………（4分）
i?1it(n?(t)?EeitX?Ee?Xi)i?1n（6分） ??EeitXi?(peit?q)n ………………………
i?1n ???(0)?iEX …………………………（8分）
EX??i??(0)??i(peit?q)n???t?0??in(peit?q)n?1?peit?i??t?0?np
…………………………（10分）
2．解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
（1） 当t=1/2时，X（1/2）的分布列为P?X()?0??P?X()?1????12????12??1 2?0x?0?11 其分布函数为F(;x)??0?x?1 …………………………（3分）
22?x?1?1同理，当t=1时Ｘ(1)的分布列为 P?X(1)??1??P?X(1)?2??1 2?0?1其分布函数为F(1;x)???2?1x??1?1?x?2 …………………………（5分） x?2（2） 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=1/2，t=1时的联合分布列为
?1??1?P?X()?0,X(1)??1??P?X()?0,X(1)?2??2??2?
?1??1?1?P?X()?1,X(1)??1??P?X()?1,X(1)?2???2??2?4故联合分布函数为
x1?0orx2??1?0?1/40?x1?1and?1?x2?2?1F(,1;x1,x2)??1/20?x1?1andx2?2………………………（10分） 2?orx1?1and?1?x2?2?x1?1andx2?2?13．解：对于任意固定的t∈T，X(t)是正态随机变量，故
E[X(t)]?E(A)?E(B)t?0 D[X(t)]?D(A)?D(B)t2?1?t2
所以X（t）服从正态分布N(0,1?t2) …………………………（3分） 其次任意固定的t1,t2?T,X(t1)?A?Bt1,X(t2)?A?Bt2
则依n维正态随机向量的性质，?X(t1),X(t2)?服从二维正态分布，且
E[X(t1)]?E[X(t2)]?0
2D[X(t1)]?1?t12 ………………（8分） D[X(t2)]?1?t2Cov(X(t1),X(t2))?E[X(t1)X(t2)]?1?t1t2
?1?t12 所以二维分布是数学期望向量为（0，0），协方差为??1?t1t21?t1t2?的二维正态分布。 2?1?t2?………………………………（10分）
4．解：X(t)?Vt?b，V~N(0,1)，故X(t)服从正态分布， E?X(t)??E?Vt?b??tEV?b?b D?X(t)??D?Vt?b??tDV?t
22均值函数为 m(t)?E?X(t)??b …………………………（4分） 相关函数为 R(t1,t2)?EX(t1)X(t1)?E?Vt1?b??Vt2?b? ?EVt1t2?V(t1?t2)b?b?22??tt12?b2………………（10分）
5． 解：mY(t)?EY(t)?E[X(t)?g(t)]?mX(t)?g(t)
………………………………………………（4分）
BY(t1,t2)?RY(t1,t2)?mY(t1)mY(t2)
?EY(t1)Y(t2)?mY(t1)mY(t2)
?E[X(t1)?g(t1)][X(t2)?g(t2)]?[mX(t1)?g(t1)][mX(t2)?g(t2)]
?RX(t1,t2)?mX(t1)mX(t2)?BX(t1,t2)
………………………………………………（10分） 6．解：因为{X(t),t?T}是实正交增量过程，故E[X(t)]?0