2．基本不等式
1．基本不等式的定理1,2
定理1：如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b＞0，那么
2
2
a＋b2
≥ab，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的
算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
2．基本不等式的理解
重要不等式a＋b≥2ab和基本不等式
2
2
a＋b2
≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的
条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，
a＋bb≥0仍然能使≥ab成立．
2
两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b. 3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (a＋b)
(1)a＋b≥；
2
2
2
2
(2)ab≤
a2＋b2
2
；
(3)ab≤?
?a＋b?2；
??2?
2
2
?a＋b?2≤a＋b； (4)??2?2?
(5)(a＋b)≥4ab.
2
利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111
求证：＋＋≥9.
abc[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋
abcabc
＝3＋＋＋＋＋＋
bcacabaabbcc??????＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋?≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
111
即＋＋≥9.
bacacb?ab??ac??bc?
abc法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111?111?∴＋＋＝(a＋b＋c)?＋＋?
abc?abc?
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
bcaaabcabbcc?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋?
?ab??ac??bc?
≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111
∴＋＋≥9.
abc
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数， 所以ab＋cd2
≥ab·cd＞0，
ac＋bd2
≥ac·bd＞0，
(ab＋cd)(ac＋bd)所以≥abcd，
4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立． 2．已知a，b，c为正实数， (a＋b)(b＋c)(c＋a)
求证：(1)≥8；
abc(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 证明：(1)∵a，b，c为正实数， ∴a＋b≥2ab>0，
b＋c≥2bc>0，
c＋a≥2ca>0，
由上面三式相乘可得
(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab·bc·ca＝8abc. 即
(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥8.
abc(2)∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca， 由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca. 即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
[例2] (1)当x>0时，求f(x)＝利用基本不等式求最值 2x的值域； x2＋1
3
(2)设0 219 (3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． xy[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． [解] (1)∵x>0， ∴f(x)＝ 2x2 ＝. x＋11 x＋ 2x1 ∵x＋≥2， x∴0<1≤. 12x＋ 1 x∴0 (2)∵0 2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2??2x＋(3－2x)?2＝9. ?22?? 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 4