2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2.基本不等式教案(含解析)新人教A版 下载本文

2.基本不等式

1.基本不等式的定理1,2

定理1:如果a,b∈R,那么a+b≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:如果a,b>0,那么

2

2

a+b2

≥ab,而且仅当a=b时,等号成立,即两个正数的

算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

2.基本不等式的理解

重要不等式a+b≥2ab和基本不等式

2

2

a+b2

≥ab,成立的条件是不同的.前者成立的

条件是 a与b都为实数,并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条件是a与b都为正实数,并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如a=0,

a+bb≥0仍然能使≥ab成立.

2

两个不等式中等号成立的充要条件都是a=b. 3.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (a+b)

(1)a+b≥;

2

2

2

2

(2)ab≤

a2+b2

2

(3)ab≤?

?a+b?2;

??2?

2

2

?a+b?2≤a+b; (4)??2?2?

(5)(a+b)≥4ab.

2

利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1. 111

求证:++≥9.

abc[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换,再用基本不等式来证明. [证明] 法一:∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1, 111a+b+ca+b+ca+b+c∴++=++

abcabc

=3++++++

bcacabaabbcc??????=3+?+?+?+?+?+?≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c时,等号成立.

111

即++≥9.

bacacb?ab??ac??bc?

abc法二:∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1, 111?111?∴++=(a+b+c)?++?

abc?abc?

=1++++1++++1

bcaaabcabbcc?ba??ca??cb?=3+?+?+?+?+?+?

?ab??ac??bc?

≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c时,等号成立. 111

∴++≥9.

abc

用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明.

1.已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 证明:因为a,b,c,d都是正数, 所以ab+cd2

≥ab·cd>0,

ac+bd2

≥ac·bd>0,

(ab+cd)(ac+bd)所以≥abcd,

4即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

当且仅当ab=cd,ac=bd,即a=d,b=c时,等号成立. 2.已知a,b,c为正实数, (a+b)(b+c)(c+a)

求证:(1)≥8;

abc(2)a+b+c≥ab+bc+ca. 证明:(1)∵a,b,c为正实数, ∴a+b≥2ab>0,

b+c≥2bc>0,

c+a≥2ca>0,

由上面三式相乘可得

(a+b)(b+c)(c+a)≥8ab·bc·ca=8abc. 即

(a+b)(b+c)(c+a)

≥8.

abc(2)∵a,b,c为正实数,

∴a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ca, 由上面三式相加可得

(a+b)+(b+c)+(c+a)≥2ab+2bc+2ca. 即a+b+c≥ab+bc+ca.

[例2] (1)当x>0时,求f(x)=利用基本不等式求最值 2x的值域; x2+1

3

(2)设0

219

(3)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.

xy[思路点拨] 根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件,求最值. [解] (1)∵x>0, ∴f(x)=

2x2

=. x+11

x+

2x1

∵x+≥2,

x∴0<1≤. 12x+

1

x∴0

(2)∵00.

2∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)] ≤2??2x+(3-2x)?2=9. ?22??

3

当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.

4