《圆与方程》知识点整理
一、标准方程?x?a?2??y?b?2?r2
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心?a,b?和半径r
①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程
x2?y2?Dx?Ey?F?0?D2?E2?4F?0?
1.Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0表示圆方程则
22???A?B?0?A?B?0?? ??C?0?C?0??D2?E2?4AF?022???D???E??4?F?0?????A??A??A?2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.D?E?4F?0常可用来求有关参数的范围
三、圆系方程： 四、参数方程：
五、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系
d?r?点在圆内；d?r?点在圆上；d?r?点在圆外 2.涉及最值：
（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值
22PBmin?BN?BC?rPBmax?BM?BC?r
（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 PAmin?AN?r? PAmax?AM?r?AC A C
思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
1
六、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d为圆心到直线的距离）
（1）相离?没有公共点???0?d?r （2）相切?只有一个公共点???0?d?r （3）相交?有两个公共点???0?d?r
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 i）点在圆外
如定点P?x0,y0?，圆：?x?a???y?b??r，[?x0?a???y0?b??r]
222222第一步：设切线l方程y?y0?k?x?x0?
第二步：通过d?r?k，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点P?1,1?作圆x?y?4x?6y?12?0的切线，求切线方程.
22答案：3x?4y?1?0和x?1 ii）点在圆上
1） 若点?x0，y0?在圆x2?y2?r2上，则切线方程为x0x?y0y?r2 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2） 若点?x0，y0?在圆?x?a???y?b??r上，则切线方程为
222?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，AP?CP?r?AP?3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 弦长公式：l?1?k2x1?x2?x?1?k????21222CP?r2 2?x2??4x1x2??2（暂作了解，无需掌握）
2
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题
例：若圆?x?3???y?5??r上有且仅有两个点到直线4x?3y?2?0的距离为1，则
222半径r的取值范围是_________________. 答案：?4,6? 4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 七、对称问题
1.若圆x2?y2?m2?1x?2my?m?0，关于直线x?y?1?0，则实数m的值为____. 答案：3（注意：m??1时，D?E?4F?0，故舍去）
变式：已知点A是圆C:x?y?ax?4y?5?0上任意一点，A点关于直线x?2y?1?0的对称点在圆C上，则实数a?_________.
2.圆?x?1???y?3??1关于直线x?y?0对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆C1：?x?4???y?2??1与圆C2：?x?2???y?4??1关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.
3.圆?x?3???y?1??1关于点?2,3?对称的曲线方程是__________________. 八、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x，y满足方程x?y?4x?1?0，求：
2222??2222222222y的最大值和最小值；——看作斜率 x?5（2）y?x的最小值；——参数法； 截距（线性规划）
（1）
（3）x?y的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知?AOB中，OB?3，OA?4，AB?5，点P是?AOB内切圆上一点，求以PA，
22PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设P?x,y?为圆x??y?1??1上的任一点，欲使不等式x?y?c?0恒成立，则c的取
22值范围是____________. 答案：c?七、圆的参数方程
2?1（数形结合和参数方程两种方法均可！）
?x?rcos?，?为参数 x2?y2?r2?r?0????y?rsin?3