2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学能力测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛x|-1 （A）(-1,3) （B）(-1,0) （C）(0,2) （D）(2,3) （2）若a为实数且 2?ai?3?i,则a= 1?i（A）-4 （B）-3 （C）3 （D）4 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） 2007年我 化硫排放 （C） 2006年以 化硫年排趋势 （D） 2006年以 化硫年排正相关 （4）a?(1,?1),b?(?1,2),则(2a?b)?a? （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 （5）Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若a1+ a3+ a5=3，则S5? （A）5 （B）7 （C）9 （D）11 （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （A） ?????国治理二氧显现 来我国二氧放量呈减少 来我国二氧放量与年份 1111 （B） （C） （D） 85763），C（2,3）则?ABC外接圆的圆心到原点的距离为 （7）过三点A（1,0），B（0, （A） 212554 （B）（C） （D） 3333（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输 入a,b分别为14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 （9）已知等比数列{an}满足a1?1，a3a5?4?a4?1?，则a2? 411（A）2 （B）1 （C） （D） 82（10）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36， 则球O的表面积为 1 A．36π B.64π C.144π D.256π （11）.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （12） （A）(,1) （B）(??,)?(1,??)（C）(?，)（D）(??，?)?(，??) 二、填空题 （13）已知函数f(x)?ax?2x的图象过点（?1,4）则a? ?x?y?5?0（14）若x，y满足约束条件?2x?y?1?0，则z??x?2y?1?0?3131311331313?2x?y的最大值为____________. 1x，则该双曲线的标准方程是 22（16）已知曲线y=x+lnx在点（1,1）处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则a= （15）已知双曲线过点(4,3)且渐近线方程为y??三．解答题 （17）?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC (Ⅰ) 求sin?B0 (Ⅱ) 若?BAC?60,求?B sin?C(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 （1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 19．（12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。过E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值。 2220. 椭圆C：x2?y2?1,(a?b?0)的离心率 2，点（2，2） ab2在C上 （1）求椭圆C的方程 （2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； 21.设函数 f(x)?lnx?a(1?x)(Ⅰ)讨论：f(x)的单调性； （Ⅱ）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。 （22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （1）证明：EF平行于BC 2 （2） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。 ?x?tcos?,（23）在直角坐标系xOy中,曲线C1:? （t为参数,且t?0 ）,其中0????,在以O为极点,x轴正 y?tsin?,?半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:??2sin?,C3:??23cos?. （I）求C2与C3交点的直角坐标； （II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值. （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学能力测试答案 1、选A 2、解：因为2?ai?(3?i)(1?i)?2?4i,所以a?4.故选D 3、选D 4、选C 5、解：在等差数列中，因为 6、解：如图所示，选D. 7、解：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设外接圆的圆心为D，则D（1， 23）所以， 3OD?1?4?3721?.故选B. 338、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2, 4-2=2,所以a=b=2，故选B. 9、解：因为?an?满足a1?21,a3a5?4(a4?1),所以， 411?2?.故选C. 42a4?4(a4?1),解得a4?2,又a4?a1q3，所以q?2,所以a2?a1q?10、解：因为A,B都在球面上，又?AOB?90?,C为该球面上动点，所以 三棱锥的体积的最大值为?21121R?R?R3?36，所以R=6，所以球的表面积为 326S=4πR?144π，故选C. 11、解：如图，当点P在BC上时， 当x??4时取得最大值1?5， 以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB<1?5. 又函数f(x)不是一次函数，故选B. 12、解：因为函数f(x)?ln(1?x)?1,是偶函数，x?[0,??)时函数是增函数 21?x1?f(x)?f(2x?1)?x?2x?1,?x2?(2x?1)2,解得?x?1.故选A. 313、答：a= -2 14、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8. 15、解：设双曲线的方程为x2?4y2?k(k?0),点（4，,3）代入方程，解得k?4. 1,?切线的斜率为2，切线方程为y?2x?1. xsin?BAC?, 17、解：（Ⅰ）由正弦定理得 sin?CAB16、解：y'?1? 3