习题7-1
1. 设u=a?b+2c, v=?a+3b?c. 试用a、b、c表示2u?3v .
解 2u?3v =2(a?b+2c)?3(?a+3b?c)=2a?2b+4c+3a?9b+3c=5a?11b+7c .
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证明 ; , 而, ,
所以.
这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD, 从而四边形ABCD是平行四边形.
3. 把ΔABC的BC边五等分, 设分点依次为D、D、D、D, 再把各分点与点A连接. 试以、
1
2
3
4
表示向量、、A3、A4. 解
, , ,
.
4. 已知两点M(0, 1, 2)和M(1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.
1
2
解 , .
5. 求平行于向量a=(6, 7, ?6)的单位向量. 解
,
平行于向量a=(6, 7, ?6)的单位向量为 或 . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A(1, ?2, 3); B(2, 3, ?4); C(2, ?3, ?4); D(?2, ?3, 1).
解 A在第四卦限, B在第五卦限, C在第八卦限, D在第三卦限.
7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:
A(3, 4, 0); B(0, 4, 3); C(3, 0, 0); D(0, ?1, 0).
解 在xOy面上, 的点的坐标为(x, y, 0); 在yOz面上, 的点的坐标为(0, y, z); 在zOx面上, 的点的坐标为(x, 0, z).
在x轴上, 的点的坐标为(x, 0, 0); 在y轴上, 的点的坐标为(0, y, 0), 在z轴上, 的点的坐标为(0, 0, z).
A在xOy面上, B在yOz面上, C在x轴上, D在y轴上.
8. 求点(a, b, c)关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.
解 (1)点(a, b, c)关于xOy面的对称点为(a, b, ?c); 点(a, b, c)关于yOz面的对称点为(?a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, ?b, c).
(2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, ?b, ?c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(?a, b, ?c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(?a, ?b, c).
(3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(?a, ?b, ?c).
9. 自点P(x, y, z)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.
0
0
0
0
解 在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x, y, 0)、(0, y, z)和(x, 0, z).
00
0
0
0
0
0
在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x, 0, 0), (0, y, 0)和(0, 0, z).
0
0
10. 过点P(x, y, z)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点
0
0
0
0
的坐标各有什么特点？
解 在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x, y, z); 在所作的平行于xOy面的平面上,
0
0
点的坐标为(x, y, z).
0
11. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为
,
,
, 所以立方体各顶点的坐标分别为
,
,
, , , . 12. 求点M(4, ?3, 5)到各坐标轴的距离.
解 点M到x轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 .
点M到y轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(0, ?3, 0)之间的距离, 即 .
点M到z轴的距离就是点(4, ?3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即
.
13. 在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, ?2, ?2)和C(0, 5, 1)等距离的点. 解 设所求的点为P(0, y, z)与A、B、C等距离, 则
, , .
由题意, 有 ,
即 解之得y=1, z=?2, 故所求点为(0, 1, ?2).
14. 试证明以三点A(4, 1, 9)、B(10, ?1, 6)、C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.
解 因为
所以, .
因此ΔABC是等腰直角三角形. 15. 设已知两点 解
,
,
;
;
2
, ,
,
和M(3, 0, 2). 计算向量的模、方向余弦和方向角.
;
, , .
16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cosα=0; (2)cosβ=1; (3)cosα=cosβ=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解 (1)当cosα=0时, 向量垂直于x轴, 或者说是平行于yOz面. (2)当cosβ=1时, 向量的方向与y轴的正向一致, 垂直于zOx面.
(3)当cosα=cosβ=0时, 向量垂直于x轴和y轴, 平行于z轴, 垂直于xOy面. 17. 设向量r的模是4, 它与轴u的夹角是60°, 求r在轴u上的投影. 解 .
18. 一向量的终点在点B(2, ?1, 7), 它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, ?4, 7. 求这向量的起点A的坐标.
解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得
,
解得x=?2, y=3, z=0. 点A的坐标为A(?2, 3, 0).
19. 设m=3i+5j+8k, n=2i?4j?7k和p=5i+j?4k. 求向量a=4m+3n?p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解 因为a=4m+3n?p=4(3i+5j+8k)+3(2i?4j?7k)?(5i+j?4k )=13i+7j+15k, 所以a=4m+3n?p在x轴上的投影为13, 在y轴上的分向量7j .
习题7?2
1. 设a=3i?j?2k, b=i+2j?k, 求(1)a?b及a×b; (2)(?2a)?3b及a×2b; (3)a、b夹角的余弦.
解 (1)a?b=3×1+(?1)×2+(?2)×(?1)=3,
. (2)(?2a)?3b =?6a?b = ?6×3=?18, a×2b=2(a×b)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k .
(3) .
2. 设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求a?b+b?c+c?a . 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)?(a+b+c)=0, 即 a?a+b?b+c?c+2a?b+2a?c+2c?a=0, 于是
1
2
3
.
3. 已知M(1, ?1, 2)、M(3, 3, 1)和M(3, 1, 3). 求与、同时垂直的单位向量. 解 , .
,
,
为所求向量.
4. 设质量为100kg的物体从点M(3, 1, 8)沿直线称动到点M(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长
1
2
度单位为m, 重力方向为z轴负方向).
解F=(0, 0, ?100×9. 8)=(0, 0, ?980), .
W=F?S=(0, 0, ?980)?(?2, 3, ?6)=5880(焦耳).
5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x的点P处, 有一与成角θ
1
1
1
的力F作用着;
1
在O的另一侧与点O的距离为x的点P处, 有一与成角θ
2
2
1
的力F作用着. 问θ、θ、x、
1
1
2
1
x、|F|、|F|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
2
1
2
解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x|F|?sinθ?x|F|?sinθ=0,
11
11
11
22
22
22
即 x|F|?sinθ=x|F|?sinθ.
6. 求向量a=(4, ?3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.
解 . 7. 设a=(3, 5, ?2), b=(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa+μb与z轴垂直? 解 λa+μb=(3λ+2μ, 5λ+μ, ?2λ+4μ), λa+μb与z轴垂?λa+μb ⊥k
?(3λ+2μ, 5λ+μ, ?2λ+4μ)?(0, 0, 1)=0, 即?2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa+μb与z轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则, . 因为,
所以, ∠C=90°.
9. 设已知向量a=2i?3j+k, b=i?j+3k和c=i?2j, 计算: (1)(a?b)c?(a?c)b; (2)(a+b)×(b+c); (3)(a×b)?c . 解 (1)a?b=2×1+(?3)×(?1)+1×3=8, a?c=2×1+(?3)×(?2)=8,
(a?b)c?(a?c)b=8c?8b=8(c?b)=8[(i?2j)?(i?j+3k)]=?8j?24k . (2)a+b=3i?4j+4k, b+c=2i?3j+3k,
.
(3) , (a×b)?c=?8×1+(?5)×(?2)+1×0=2.
10. 已知, , 求ΔOAB的面积.
解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB的面积为