在O的另一侧与点O的距离为x的点P处, 有一与成角θ
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的力F作用着. 问θ、θ、x、
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x、|F|、|F|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
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解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x|F|?sinθ?x|F|?sinθ=0,
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即 x|F|?sinθ=x|F|?sinθ.
6. 求向量a=(4, ?3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.
解 . 7. 设a=(3, 5, ?2), b=(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa+μb与z轴垂直? 解 λa+μb=(3λ+2μ, 5λ+μ, ?2λ+4μ), λa+μb与z轴垂?λa+μb ⊥k
?(3λ+2μ, 5λ+μ, ?2λ+4μ)?(0, 0, 1)=0, 即?2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa+μb与z轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证明 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则, . 因为,
所以, ∠C=90°.
9. 设已知向量a=2i?3j+k, b=i?j+3k和c=i?2j, 计算: (1)(a?b)c?(a?c)b; (2)(a+b)×(b+c); (3)(a×b)?c . 解 (1)a?b=2×1+(?3)×(?1)+1×3=8, a?c=2×1+(?3)×(?2)=8,
(a?b)c?(a?c)b=8c?8b=8(c?b)=8[(i?2j)?(i?j+3k)]=?8j?24k . (2)a+b=3i?4j+4k, b+c=2i?3j+3k,
.
(3) , (a×b)?c=?8×1+(?5)×(?2)+1×0=2.
10. 已知, , 求ΔOAB的面积.
解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是ΔOAB的面积为
因为
所以三角形ΔOAB的面积为 . 12. 试用向量证明不等式:
, ,
,
其中a、a、a、b、b、b为任意实数, 并指出等号成立的条件.
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解 设a=(a, a, a), b=(b, b, b), 则有
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, 于是
,
其中当=1时, 即a与b平行是等号成立.
习题7?3
1. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解 设动点为M(x, y, z), 依题意有
(x?2)+(y?3)+(z?1)=(x?4)+(y?5)+(z?6), 即 4x+4y+10z?63=0.
2. 建立以点(1, 3, ?2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径球面方程为
(x?1)+(y?3)+(z+2)=14, 即 x+y+z?2x?6y+4z=0.
3. 方程x+y+z?2x+4y+2z=0表示什么曲面? 解 由已知方程得
(x?2x+1)+(y+4y+4)+(z+2z+1)=1+4+1, 即
,
所以此方程表示以(1, ?2, ?1)为球心, 以 为半径的球面.
4. 求与坐标原点O及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？
解 设点(x, y, z)满足题意, 依题意有
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,
化简整理得 它表示以
为球心, 以
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,
,
为半径的球面.
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5. 将zOx坐标面上的抛物线z=5x绕x轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z换成
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得旋转曲面的方程y+z=5x.
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6. 将zOx坐标面上的圆x+z=9绕z轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x换成
7. 将xOy坐标面上的双曲线4x?9y=36分别绕x轴及y轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x?9y?9z=36.
双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x+4z?9y=36.
8. 画出下列方程所表示的曲面: (1) (2) (3)
;
;
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得旋转曲面的方程x+y+z=9.
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;
(4)y?z=0;
(1)x=2; 解在平面解
张平行于yOz面的平面. (2)y=x+1; 解 在平面解
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间解析几何中，y=x+1表示一张平行于z轴的平面. (3)x+y=4; 解 在平面解析
x+y=4表示母线平行于z轴, 准线为x+y=4的圆柱面. (4)x?y=1. 解 在平面解析
于z轴的双曲面. 10. 说明下列 (1)1222=++zyx;
19422=+zx绕x轴旋转一周而形122=+?zy;
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