第3讲 平面向量

1.(2018南京调研)已知向量a=(1,2),b=(-2,1).若向量a-b与向量ka+b共线,则实数k的值是. 2.(2017江苏扬州中学阶段性测试)已知点P在直线AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ=. 3.(2018江苏海安高级中学月考)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b的夹角大小为.

4.(2018江苏扬州调研)在△ABC中,AH是底边BC上的高,点G是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则(+)·=.

5.(2018江苏扬州中学模拟)如图,已知AC=BC=4,∠ACB=90°,M为BC的中点,D是以AC为直径的圆上一动点,则·的最小值是.

6.在平行四边形ABCD中,=a,=b.若|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,则线段BD的长度为.

7.(2018江苏盐城中学阶段性检测)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,E是AB的中点,P是△ABC(包括边界)内任一点,则·的取值范围是.

8.(2018江苏徐州模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=4,DC=2,∠BAD=,E为BC的中点,若·=9,则对角线AC的长为.

9.(2018江苏南京师大附中模拟)已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且m·n=1. (1)求A的值;

(2)若=-3,求tanC的值.

答案精解精析

1.答案 -1

解析 a-b=(3,1)与ka+b=(k-2,2k+1)共线,则3(2k+1)-(k-2)=0,解得k=-1. 2.答案 或-

解析 由题意可得=4或=-4,则+=4或+=-4,则=3或=-5,则λ=或-. 3.答案

解析 由已知得a·b=2,则cos==,又∈[0,π],则=. 4.答案 6

解析 由AH是底边BC上的高,且AB=2,AC=4,∠BAH=30°,得AH=,BH=1,HC=.以点H为坐标原点,BC所在直线为x轴,AH所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),H(0,0),C(,0),G,则(+)·=(+1,-)·=+2=6. 5.答案 8-4

解析 以AC的中点O为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),C(2,0),B(2,-4),M(2,-2).设D(2cosθ,2sinθ),

则·=(4,-2)·(-2cosθ+2,-2sinθ)=4sinθ-8cosθ+8=4sin(θ-φ)+8,则·的最小值是8-4.

6.答案

解析 因为=b-a,所以||===. 7.答案 [-9,9]

解析 以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则

A(0,4),B(2,0),D(1,0),E(1,2).设P(x,y),则·=(1,-4)·(x-1,y-2)=x-4y+7,记z=·,当直线z=x+4y+7经过点A时,z取得最小值-9,经过点B时,z取得最大值9,故·取值范围是[-9,9]. 8.答案 2

解析 以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,

设AD=m,则D,B(4,0),C,E,·=·=-m-m+12=9,解得m=2(舍负),则C(3,),AC=2. 9.解析 (1)因为m·n=1,所以(-1,)·(cosA,sinA)=1,即sinA-cosA=1,则2=1, 即sin=.又0

(2)由=-3,整理得sinB-sinBcosB-2cosB=0,易知cosB≠0,所以tanB-tanB-2=0,所以tanB=2或-1,而tanB=-1时,cosB-sinB=0,不合题意舍去,所以tanB=2,故tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=.

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