故导线对地的单位长电容为 C0??lU??l??2??0?2dd12ln?22??ad1?d2????

4.8 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如图所示,用分离变量法求电位分布。

解：设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)其中

?q0(r,?)?q4??R?

04??220r?r1?2rr1cos?是点电荷q的电位，?in(r,?)是导体球上的感应电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为 (1)r??时，?(r,?)?0 (2)r?a 时，?(a,?)?0

由式(1)可得?in(r,?)的通解为 ??in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)

n?0为了确定系数，利用

1R的球坐标展开式 ??1??rn(r?r1)R???n?0rn?1Pn(cos?)1 ??rn?1??n?0rn?1Pn(cos?)(r?r1)1将?0(r,?)在球面上展开为

?q?an0(r,?)?4???Pn(cos?)

0n?0rn?11代入式(2)，有 ? ?A?n?1q?naP?)?n?04???ann(cosrn?1Pn(cos?)?0 0n?01比较Pn(cos?)的系数，得到

??qa2n?1 An4??n?1 0r1z q r1 a O 题4.8 图

故得到球外的电位为

a2n?1 ?(r,?)??P(cos?) ?n?1n4??0R4??0n?0(r1r)qq?4.9 在一个半径为a的圆柱面上，给定其电位分布：

0?????U0 ???

0?????0?求圆柱内、外的电位分布。

解：本题的电位与坐标z无关。除了圆柱面上的已知电位以外，根据问题本身的物理含义，可以得出，圆柱外部的电位在无穷远出应该等于零，圆柱内部的电位在圆柱中轴线上应该为有限值，根据这一点，可以判断出，在圆柱外，通解中的正幂项的系数为零，在圆柱内部，通解中的负幂项的系数同样为零。 于是，柱内电位的通解为

?1(r,?)?A0??rn(Ancosn??Bnsinn?) 待定系数A0、An、Bn可以由界面的电位来确定，即

n?1?0?????U ?1(a,?)?A0??an(Ancosn??Bnsinn?)??0

?????0n?1?0?由傅立叶级数的有关知识，可得出

?U01 A0? ?(a,?)d??12???2? aAn?n1??????(a,?)cosn?d?

10 An?a?n??1?U0cosn?d??0 (n?1)

? aBn?n?????(a,?)sinn?d?

1a?nU0n Bn?Usinn?d??[1?(?1)] 0??0n?a?n即

2a?nU0 Bn? (n?1,3,5,??)

n??将这些系数代入上面的通解，得到圆柱内部的电位

U2U0 ?1(r,?)?0?2?1r()sinn? ?nan?1,3??n4.10 假设真空中在半径为a的球面上有面密度为?0cos?的表面电荷，其中?0是常数，求任意点的电位。

解：除了面电荷，球内和球外再无电荷分布，虽然可以用静电场的积分公式计算各点的电位，但使用分离变量法更方便。设球内、球外的电位分别是?1,?2。由题意知，在无穷远外，电位为零；在球心处，电位为有限值。所以可以取球内、球外的电位形式如下：

?1(r,?)??AnrnPn(cos?) (1) ?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?) (2)

n?0n?0??球面上的边界条件为

?r?a,?1??2? ? ??2??1r?a,??0(?)??S??0cos???r?r?将式(1)和式(2)代入边界条件，得

?AnaPn(cos?)??Bna?n?1Pn(cos?) (3)

nn?0n?0?? ?nAnan?0?n?1Pn(cos?)??(n?1)Bna?n?2Pn(cos?)?n?0??0cos? (4) ?0比较式(3)等号的两边，得

Bn?Ana2n?1 (5) 将式(5)代入式(4)，整理以后变为 ?(2n?1)Anan?1Pn(cos?)?n?0??0cos? ?0使用勒让德多项式的唯一性，即将区间[?1,1]内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑P?)?cos?，得 1(cos A1??0 3?0 An?0 (n?1)

于是我们得到 ?1??0rcos? (r?a) 3?0?0a3 ?2?cos? (r?a)

3?0r24.11 一半径为a的细导线圆环，环与x、y平面重合，中心在原点上，环上总量为Q0。证明其电位为 ?1?1r3r[1?()2P2(cos?)?()4P4(cos?)?...] (r?a) 4??0a2a8a1r3r[1?()2P2(cos?)?()4P4(cos?)?...] (r?a) 4??0r2a8aQQ?2?解：根据题目给定的坐标，z轴与环的轴线重合。场为轴对称， z ???(r,?)。用环所在球面r?a，把场区分球内和球外两部分， 解分别为?1、?2。球内?1不含r?n，球外?2不含rn，通解为

Q O ?1??AnrPn(cos?) (r?a) (1)

nn?0??a ?2??(Bnn?0rn?1)Pn(cos?) (r?a) (2)

把环上的线电荷表示为环所在球面r?a上的面电荷为 题4.11 图 1Q??ql?(cos??cos?')??(cos??cos?') (3) 2a2?a其中

?'?? (4)

2?'是环所在的锥面的坐标(即z?0的平面) 边界条件为

r?a,?1??2 (5) ?0(由式(5)得

anAn???1??2Q?)????(cos??cos?') (6) 2?r?r2?aBnrn?1 (7)

由式(6)得 ?0?[nAnan?1?(n?1)Bnan?2]Pn(cos?)?Q?(cos??cos?') (8) 22?a式(8)两端乘以sin?Pn(cos?)，从???到0积分得 ?0?[nAnan?1?(n?1)Bnn?2]2QQ?P(cos?')?Pn(0) (9) n22a2n?12?a2?a由式(7)和(9)联立解出 AQ1n?4??Pn(0) (10)

0an?1 BQn?4??anPn(0) (11)

0? P??0n为奇数n(0)?n??(?1)21?3?5...(n?1) (12) 2?4?6...nn为偶数将式(10)、(11)、(12)代入(1)、(2)得

?Q?nn24??a??1)1?3?5...(n?1)4?6...n(r1?(a)Pn(cos?) (r?a) 0nn为偶2???Q?nn(?21?3?5...(n?1)r24???1)()Pn(cos?) (r?a) 0rnn为偶2?4?6...na4.12 利用有限差分法求静电场边值问题 ???2u?2u(0?x?20,0?y????x2??y2?010)?u(x,0)?u(x,10)?0 ??u(0,y)?0,u(20,y)?100??求近似解。

解：取h?5做正方形网格 y

10 u?0 u 1 u2 u3 u?0u?100 0 u?0x

20 题 4.12 图