得差分方程

?4u1?u2?0? ?4u2?u1?u3?0

?4u?u?02?3利用塞德尔迭代格式

?(k?1)1(k)?u2?u14??(k?1)1(k?1)(k)?(u1?u3) ?u24??(k?1)1(k?1)?u2?25?u34? k?0,1,2,...

(0)(0)选取迭代初值u1(0)?2，u2?7.5，u3?30，计算得下表。即经过6次迭代得

k u1 u1 u1 k u1 u1 u1 1.789 7.145 26.786 1.786 7.143 26.786 1.786 7.143 26.786 0 1 2 3 近似解为 2 7.5 30 4 1.875 7.969 26.992 5 1.992 7.246 26.812 6 1.812 7.156 26.789 u1?1.786，u2?7.143，u3?26.786

4.13 已知无限大导体平板由两个相互绝缘的半无限大导体平板组成,如图所示，右半部的电位为U0，左半部的电位为零，求上半空间的电位。 解:此题是第一类边值问题，即体电荷为零， 此时第一类格林函数的解可以简化为

E

??????(r')S?G(r,r')dS' (1) ?n'??0 ??U0

由二维半无界空间的格林函数

题 4.13 图

G(r,r')?其中：

R11ln2?{ln[(x?x')2?(y?y')2]?ln[(x?x')2?(y?y')2]} 2??R14??011R1?[(x?x')2?(y?y')2]2 ， R2?[(x?x')2?(y?y')2]2

将式(1)中的面积分转化为线积分，且n'是界面的外法向。于是，有

?G?G12(y?y')2(y?y')????[?] 2222?n'?y'4??0(x?x')?(y?y')(x?x')?(y?y')?G1y |S???n'??(x?x')2?y2代入式(1)，可得 ?(r)?U0???0U0?yxdx'?(?arctan) 22?2yy?(x?x')4.14 已知一个半径为a的圆柱形区域内体电荷密度为零，界面上的电位为

?(a,?)??(?)，用格林函数法求圆柱内部的电位?(r,?)。 解：使用镜像法及格林函数的性质， 可以得出，半径为a的圆柱内部静 电问题的格林函数为

a r ?R1 r' R2 r''

G(r,r')?Rr'1ln2 2??R1a 题 4.14 图

式中各量如图所示，r?|r|，r'?|r'|，R1是r'到场点r的距离，R1是r'的镜像点r''到场点r的距离。

R1?(r2?r'2?2rr'cos?)a2 r''?，?????'

r'12 R2?(r2?r''2?2rr''cos?)2

1计算出截面上的???n'代入上题的式(1),有

2??G(r,r')1?＝－???(r')dS'??n'2?Sa2?r2?(?')2d?' 2?a?r?2arcos(???')04.15 如果上题的圆柱面上的电位为?(a,?)?U0cos?，求柱内的电位。 解：

2?U?(r)?02?根据

a2?r2cos?'2d?' (1) 2?a?r?2arcos(???')01?n11?njn? ??kcosn????k(e?e?jn?)

2n?122n?111?1?j?n ???(ke)??(ke?j?)n

22n?12n?111kej?1ke?j?? ?? j??j?221?ke21?ke ?11kcos??jksin?1kcos??jksin? ??221?kcos??jksin?21?kcos??jksin?12kcos??2k2 ?(1?)

21?2kcos??k211?k2 ? 221?2kcos??k令k?r，可将式(1)改为 a2?U ?(r)?02?U ?02? ?1?k2co?s'd?' 2?1?k?2kcos?(??')0ncos?'[1?2kcosn(???')]d?' ??0n?1?2?U0rcos? a4.16 已知在z?0的无限大导体平板上，除了2a?2b的一块长方形面积外，电位均为零。设此长方形平板的电位为U0,求z?0的上半空间的电位分布。 解：由镜像法得到上半空间的格林函数

?1?11??G????

4??0?[(x?x')2?(y?y')2?(z?z')2]12[(x?x')2?(y?y')2?(z?z')2]12???它的法向导数

?G?G12z |S??|z'?0??3222?n'?y'4??0[(x?x')?(y?y')?z]2所以电位

?Gz?(x,y,z)???0??(r')dS'??n'2?Sab2?a?b??U0dx'dy'[(x?x')?(y?y')?z]2232

令w?x?x',u?y?y'，则上式变为

U0zx?adudw ?? 3??2222?x?ay?b(w?u?z)2y?b利用公式

?有

?Uzu??0?dw?222222?x?a??(w?y)w?u?zx?adx(x?a)2232?xa2x?a22

?? ??y?by?bU0zx?a?y?by?b? ?dw?22222222222?x??(w?z)w?z?(y?b)(w?z)w?z?(y?b)?a?再利用公式

?dx(a'?c'x')a?cx2?1a'ac'?a'carctanx 2a'ac'?a'ca'(a?cx)??dw ??上式变为

U0?y?by?b?arctanw???arctanw2222222??zz?(y?b)?wzz?(y?b)?w?U ?02??????a|xx?b

?(x?a)(y?b)(x?a)(x?b)?arctan?arctan? ?222222zz?(y?b)?(x?a)zz?(y?b)?(x?a)??(x?a)(x?b)(x?a)(y?b)?? arctan?arctan? 222222zz?(y?b)?(x?a)zz?(y?b)?(x?a)??4.17在两个半无限大导体平板间有任意夹角为?的角形域内，有一在介电常数为?的介质中与两导体平板交线平行的密度为?l的无限长直线电荷，设导体板接地，试求此角形域内的电势。

解：采用极坐标系，设直线电荷在z平面上位于z'?r'ej?，变换到?平面上则位于??z'''???re'??j?'??，而其镜像直线电荷位于??re\'???j?'??，它们到场点?的

距离分别为R与R'。若选取?平面上的实轴为电势参考点，于是?平面的上半

区域的电势为

?l?lR'???\ ??ln?ln'2??R2?????以??z???re??j???代入上式，则在z平面上角形域内的电势为

??当???时，有

?lreln?2?????j????j???re?'?'???j?'??re?re?j?'?

?l?lrej??r'e?j?(x?x')?j(y?y')??ln?lnj?'j?2??2??(x?x')?j(y?y') re?re''?l(x?x')2?(y?y')2 ? ln'2'24??(x?x)?(y?y)其中：x'?r'cos?'和y'?r'sin?'为源点的直角坐标。

当???2时，注意到z'?x'?jy'和z\?x'?jy'，有

?l?lz2?z\2(x?jy)2?(x'?jy')2 ??ln2?ln'22''22??z?z2??(x?jy)?(x?jy)(x?x')?j(y?y')(x?x')?j(y?y')?l ? ln2??(x?x')?j(y?y')(x?x')?j(y?y')?l?(x?x')2?(y?y')2??(x?x')2?(y?y')2? ? ln'2'2'2'24???(x?x)?(y?y)??(x?x)?(y?y)?上述结果和直接用镜像法所得结果相同。

4.18有一扇形电阻片，其两极板A与B是成?夹角的良导体，电阻片的电导率为?，厚度为d，内外圆弧的半径分别为r1和r2。设两极板的电势为?A?0，

?B??0，试求扇形电阻片的电阻。

解：因为电流线为圆弧，电力线亦为圆弧，等势线为射线，应用对数保教变换，取u为通量函数，v为电势函数，故复电势为

W?klnz?C?k(lnr?j?)?C???j?

其中：C?C1?jC2为复常数。于是